左偏树详解-优快云博客

左偏树其实就是个堆，而且是个可并堆，可并堆是指可以在O(logn)的时间内完成两个堆的合并的堆结构。显然，二叉堆虽然实现容易，并且好理解，但是合并需要O(n)的时间。

左偏树不是一个完全二叉树，更不是一个平衡树，顾名思义，它的左儿子的比重应该大于右儿子。

那么在一个树中我们如何确定左儿子与右儿子的比重大小关系呢？

我们可以一个定义：距离。

我们定义一个左偏树的距离是其根节点到右儿子的一个叶子节点的路径长度的最大值。

令其为dist[root],则易知，dist[root]=dist[rightson]+1

而左偏树的距离是小于其根节点到左儿子的一个叶子节点的路径长度的最大值的。

如果一个树符合这样的条件，并且满足大根堆或小根堆的堆特性，那我们就称其是一个左偏树。

由于左偏树的合并是可以在O(logn)的时间内解决的，所以我们考虑如何运用合并完成其他的操作。

1.插入。一个单独的节点一定是一个左偏树，所以我们可以把插入当做一个大的左偏树与一个单独节点的左偏树之间的合并。

2.分裂。直接把根删掉就好了。

3.输出根节点。如果给的是一个点所在的堆的根，我们可以考虑用并差集。在并差集时，压缩路径一定要注意注意注意！!

4.删除根节点。如果我们直接删除根，会造成分裂，所以我们删掉根后只需合并左右子树就行了。

5.删除某个特定的点。先找到，然后把这个特定的点的子树取出来，把点删掉，再把这个特定点的左右子树合并，然后和整个的左偏树合并。

6.合并。重中之重。

我们考虑两个小根堆特性的左偏树的合并。

因为左偏的特性，我们可以确定其右儿子的高度是不会超过logn的，所以我们先比较两个左偏树的根的权值，设两个根分别为u,v,权值为a[u],a[v],那么如果a[u]>a[v]，我们把u,v交换使得a[u]<a[v]，那么在合并时，我们可以确定a[v]一定在a[u]的子树中，那是选择往哪个子树里插呢？当然是右子树，因为右子树深度比较浅！

也就是说，我们把u的右子树取出来，先将这个右子树与v合并，而后整个挂到u的右边去不就行了？递归搞一搞，因为右子树的高度不会超过logn,而v的高度也不会超过logn,所以合并就是2logn=logn o(￣ε￣*)

合并大法完成！

给道模板题吧：洛谷P3377，并差集的路径压缩一定要注意，再次强调！

参考代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=101000;
struct Leftist{
	int lch,rch,key,fa,dist;
}h[N];
int n,m;
int read(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while (ch<'0' || ch>'9'){if (ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while ('0'<=ch && ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);ch=getchar();}
	return x*f;
}
int merge(int u,int v){
	if (!u || !v)return u+v;
	if (h[u].key>h[v].key || (h[u].key==h[v].key && u>v))swap(u,v);
	int &ul=h[u].lch,&ur=h[u].rch;
    ur=merge(ur,v);
	if (h[ul].dist<h[ur].dist)swap(ul,ur);
	h[u].dist=h[ur].dist+1;
	return u;
}
void erase(int u){
	int tu,ul=h[u].lch,ur=h[u].rch;
	h[u].fa=tu=merge(ul,ur);
	h[tu].fa=tu;h[u].key=-1;
}
int find(int x){
	return h[x].fa!=x?h[x].fa=find(h[x].fa):x;
}
int main(){
	n=read(),m=read();
	h[0].dist=-1;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		h[i].key=read(),h[i].fa=i;
	for (int i=1;i<=m;i++){
		int opt,x,y;
		opt=read(),x=read();
		if (opt==1){
			y=read();
			if (h[x].key!=-1 && h[y].key!=-1){
				int p=find(x),q=find(y);
				if (p!=q)h[p].fa=h[q].fa=merge(p,q);
			}
		}else if (opt==2){
			if (h[x].key==-1)printf("-1\n");
			else{
				int p=find(x);
				printf("%d\n",h[p].key);
				erase(p);
			}
		}
	}
	return 0;
}