NKOJ训练赛 过路费（最短路）

问题描述

有一天你来到了一个奇怪的国家，它有 N
个城市，城市之间有若干条双向道路连接，每条道路都有一定的费用，经过城市也要一定的费用。从一个城市到达另一个城市的总花费为路径上费用最大的城市费用（包括起点和终点）加上路径上所有的道路的费用。给出
Q 次询问，分别回答每次询问中两城市间的最少花费。保证城市之间可以互达。

输入格式

第一行两个整数 N，M，表示有 N 个城市 M 条道路。 接下来 N 行每行一个整数，表示城市的费用 ci。 接下来 M
行每行三个整数，x，y，z，表示城市 x 和城市 y 间有一条费用为 z 的道路。 接下来一行一个整数 Q，表示询问次数。 接下来
Q 行每行两个整数 x，y（x 不等于 y），表示询问从城市 x 到城市 y 的最小花费。

输出格式

共 Q 行每行一个整数，第 i 行的整数表示第 i 次询问的答案。

题解

1.弗洛伊德 考虑到Floyd可理解为一个按最外层点扩展的动态规划过程，所以利用此性质将每个点的点权排序后重新编号，因此每次更新时的最大权值只可能为i，j，k中一点。

2.spfa 依次从每个点拓展最短距离，并限制扩展的点的点权都小于等于目前讨论的点 再通过n方的时间复杂度更新最短距离

代码

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;
struct node{
    int a,num;
};
bool cmp(node a,node b)
{
    return a.a<b.a;
}
node a[305];
int n,m;
int dis[305][305];
int f[305][305];
int main()
{
   int i,j,k;
  scanf("%d%d",&n,&m);
  for(i=1;i<=n;i++){
     scanf("%d",&a[i].a);
     a[i].num=i;
  }
  memset(dis,30,sizeof(dis));
  memset(f,30,sizeof(f));
  for(i=1;i<=m;i++){
    int x,y,z;
    scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
    if(dis[x][y]==0) dis[x][y]=dis[y][x]=z;
    else dis[x][y]=dis[y][x]=min(dis[x][y],z);
    int maxx=max(a[x].a,a[y].a);
         f[x][y]=f[y][x]=dis[x][y]+maxx;
      }
    sort(a+1,a+1+n,cmp);
    for(i=1;i<=n;i++)
     {
        for(j=1;j<=n;j++)
        {
            for(k=1;k<=n;k++)
            {
               int x=a[i].num,y=a[j].num,z=a[k].num;
               int max1=max(a[i].a,max(a[j].a,a[k].a));
               if(dis[y][z]>dis[y][x]+dis[x][z]) dis[y][z]=dis[y][x]+dis[x][z]; 
               if(f[y][z]>dis[y][z]+max1){
                  f[y][z]=dis[y][z]+max1;       
               }

            }
        }
    }
    scanf("%d",&m);
    for(i=1;i<=m;i++){
        int x,y,m;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        printf("%d\n",f[x][y]);
}
}