Hdu-1215 七夕节【算术基本定理应用】

最新推荐文章于 2021-08-20 16:45:10 发布

飘过的小牛

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分类专栏：数论/组合数学文章标签：优化

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/niushuai666/article/details/7346408

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本文介绍了一种优化算法来解决求整数因子之和的问题，包括素数打表、素分解和两种不同的实现方法。适用于数据范围在1到500000之间的整数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1215

解题思路：

这道题要求的就是一个整数的因子之和。

但是这道题在杭电数据比较弱，各种方法都能过。暴力都能过，但是在我们OJ，只能使用优化的代码。因为数据是1-500000，暴力的话，估计得跑个几十秒。

下面说下这道题的优化解法：

1.素数打表，这个就不说了，基本功。

2.接下来就是这个问题的关键：素分解。不会的可以移步这篇文章：http://wenku.baidu.com/view/e55ca209ba1aa8114431d98a.html

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;

#define CLR(arr, what) memset(arr, what, sizeof(arr))
const int N = 500002;

int prim[N];
bool visit[N];

void fast_prim() //素数打表
{
	memset(visit, true, sizeof(visit));
	int limit = (int)sqrt(N * 1.0);
	for(int i = 2; i < limit; ++i)
		if(visit[i])
			for(int j = i * i; j < N; j += i)
				visit[j] = false;
	for(int i = 2, j = 0; i < 10000; ++i)
		if(visit[i])
			prim[j++] = i;
}

int prim_reduce(int n) //整数素分解
{
	int limit, num, sum, total = 1, temp = n;
	limit = sqrt(N * 1.0);
	for(int i = 0; prim[i] * prim[i] <= n; ++i)
	{
		num = sum = 1;
		if(n == 1)
			break;
		while(n % prim[i] == 0)
		{
			num *= prim[i];
			n /= prim[i];
			sum += num;
		}
			total *= sum;
	}
	if(n != 1)
		total *= (n + 1);
	return total - temp;
}

int main()
{
	fast_prim();
	int ncase;
	int num;
	scanf("%d", &ncase);
	while(ncase--)
	{
		scanf("%d", &num);
		if(num == 1)
		{
			printf("0\n");
			continue;
		}
		else if(visit[num])
		{
			printf("1\n");
			continue;
		}
		else
			printf("%d\n", prim_reduce(num));
	}
	return 0;
}

第二种方法：

在于打表的过程不同，第一种方法是解决这种问题的通法，但这道题我们可以用另一种打表方面，a[i]代表的就是这个因子之和，这样，我们就可以一次打表，O（1）输出。

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;

#define CLR(arr, what) memset(arr, what, sizeof(arr))
const int N = 500002;
const int M = 250000;
int a[N] = {0, 0};

void fash()
{
	for(int i = 2; i < N; ++i) //因子初始化为1
		a[i] = 1;
	for(int i = 2; i <= M; ++i) //一半即可
		for(int j = 2 * i; j < N; j += i)
			a[j] += i;
}

int main()
{
	fash();
	int ncase;
	scanf("%d", &ncase);
	while(ncase--)
	{
		int num;
		scanf("%d", &num);
		printf("%d\n", a[num]);
	}
	return 0;
}