求最长不增子序列、最长单调递减子序列、最长不降子序列、最长单调递增子序列长度

博客探讨了如何求解最长不增子序列、最长单调递减子序列、最长不降子序列和最长单调递增子序列的长度。内容涉及算法实现和问题分析。

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免费午餐问题的引申:

代码如下:

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int total = 0;
vector<int> v1;//原始数据集合
vector<int> v2;//最长不增子序列暂时集合
vector<int> v3;//最长单调递减子序列暂时集合
vector<int> v4;//最长不降子序列暂时集合
vector<int> v5;//最长单调递增子序列暂时集合

//二分法求最长不增子序列关键字下标(>=)
int binarySearch1(int key,int lowIndex,int highIndex)
{
    if(lowIndex==highIndex)
    {
        if(lowIndex == 0 && key>v2[0])
        {
            return lowIndex;
        }
        return lowIndex+1;

    }
    int midIndex = (lowIndex + highIndex + 1)/2;
    if(key<=v2[midIndex])
    {
        return binarySearch1(key,midIndex,highIndex);
    }
    else
    {
        return binarySearch1(key,lowIndex,midIndex-1);
    }
}
//二分法求最长单调递减子序列关键字下标(>)
int binarySearch2(int key,int lowIndex,int highIndex)
{
    if(lowIndex==highIndex)
    {
       if(key<v3[lowIndex])
        {
            return lowIndex+1;
    
### 使用单调队列实现最长下降子序列算法 单调队列是一种高效的优化方法,可以将原本复杂度为 \( O(n^2) \) 的动态规划算法优化到 \( O(n \log n) \)[^1]。以下是使用单调队列最长下降子序列(LIS)的详细算法和实现。 #### 算法思想 在最长下降子序列时,动态规划的核心是维护一个数组 `dp`,其中 `dp[i]` 表示以第 `i` 个元素结尾的最长下降子序列长度。然而,这种方法的时间复杂度较高,因此需要借助单调队列进行优化[^4]。 单调队列优化的核心思想是:对于一个单调递增序列,只需要记录每个长度对应的最小值即可[^2]。具体来说: - 使用一个数组 `f` 来存储当前可能成为 LIS 的候选序列。 - 遍历输入序列中的每个元素,通过二分查找确定该元素在 `f` 中的位置,并更新 `f` 的值。 #### 实现步骤 以下是基于单调队列的最长下降子序列算法的 Python 实现: ```python def lis_with_monotonic_queue(nums): if not nums: return 0 # 定义一个列表 f,用于存储当前的 LIS 候选序列 f = [] for num in nums: # 使用二分查找找到 num 在 f 中的插入位置 left, right = 0, len(f) while left < right: mid = (left + right) // 2 if f[mid] <= num: # 找到第一个大于 num 的位置 left = mid + 1 else: right = mid # 如果 left 等于 len(f),说明 num 比 f 中的所有数都大,直接追加 if left == len(f): f.append(num) else: # 否则替换掉第一个大于等于 num 的数 f[left] = num # 最终 f 的长度即为最长下降子序列长度 return len(f) # 示例用法 nums = [11, 12, 13, 9, 8, 17, 19] print(lis_with_monotonic_queue(nums)) # 输出 5 ``` #### 代码解析 1. **初始化**:创建一个空列表 `f`,用于存储当前的 LIS 候选序列。 2. **遍历输入序列**:对每个元素 `num`,通过二分查找找到其在 `f` 中的插入位置。 3. **更新候选序列**: - 如果 `num` 大于 `f` 中的所有元素,则将其追加到 `f` 的末尾。 - 否则,替换掉 `f` 中第一个大于等于 `num` 的元素。 4. **返回结果**:最终 `f` 的长度即为最长下降子序列长度。 #### 时间复杂度分析 - **二分查找**:每次查找的时间复杂度为 \( O(\log n) \)。 - **总复杂度**:由于需要对每个元素进行一次二分查找,因此总时间复杂度为 \( O(n \log n) \)[^1]。 #### 注意事项 1. 单调队列优化适用于严格递增或递减的子序列问题。 2. 如果需要输出具体的最长下降子序列,可以通过额外的回溯操作实现[^3]。
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