UVA 716(Commedia dell' arte-三维八数码)

题意：给一个3维八数码（长宽高为$n \le100$)，问能否恢复原状？

考虑2维八数码

给一个网上的结论

八数码问题的有解无解的结论:
一个状态表示成一维的形式，求除0之外所有数字的逆序数之和，称为这个状态的逆序。若两个状态的逆序奇偶性相同，则可相互到达，否则不可相互到达。

必要性：
现在考虑证明，如果将一个数左右移动，逆序数不变
上下移动 逆序数可能改变$-(n-1),-(n-3),\ldots,n-1,n-3$
当n是偶数时，上下移动一定改变奇偶性，否则一定不变

三维：

当N为奇数时，N-1和N^2-1均为偶数
当N为偶数时，N-1和N^2-1均为奇数

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define For(i,n) for(int i=1;i<=n;i++)
#define Fork(i,k,n) for(int i=k;i<=n;i++)
#define Rep(i,n) for(int i=0;i<n;i++)
#define ForD(i,n) for(int i=n;i;i--)
#define ForkD(i,k,n) for(int i=n;i>=k;i--)
#define RepD(i,n) for(int i=n;i>=0;i--)
#define Forp(x) for(int p=Pre[x];p;p=Next[p])
#define Forpiter(x) for(int &p=iter[x];p;p=Next[p])  
#define Lson (o<<1)
#define Rson ((o<<1)+1)
#define MEM(a) memset(a,0,sizeof(a));
#define MEMI(a) memset(a,127,sizeof(a));
#define MEMi(a) memset(a,128,sizeof(a));
#define INF (2139062143)
#define F (100000007)
#define pb push_back
#define mp make_pair 
#define fi first
#define se second
#define vi vector<int> 
#define pi pair<int,int>
#define SI(a) ((a).size())
#define Pr(kcase,ans) printf("Case %d: %lld\n",kcase,ans);
#define PRi(a,n) For(i,n) cout<<a[i]<<' '; cout<<endl; 
#define PRi(A) cout<<A<<endl;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
ll mul(ll a,ll b){return (a*b)%F;}
ll add(ll a,ll b){return (a+b)%F;}
ll sub(ll a,ll b){return (a-b+llabs(a-b)/F*F+F)%F;}
void upd(ll &a,ll b){a=(a%F+b%F)%F;}
int read()
{
    int x=0,f=1; char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) {if (ch=='-') f=-1; ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)) { x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}
    return x*f;
} 
#define MAXN (100+10)
int a[MAXN*MAXN*MAXN],n;


int A[MAXN*MAXN*MAXN],t[MAXN*MAXN*MAXN];
ll merge_count(int l,int r)
{
    int n=r-l+1,m=(l+r)>>1;
    if (n<=1) return 0;

    ll cnt=0;
    cnt+=merge_count(l,m);
    cnt+=merge_count(m+1,r);

    int p=l,q=m+1,ai=l;
    while (ai<=r)
    {
        if ( q>r || (p<=m && A[p]<=A[q] ) )
        {
            t[ai++]=A[p++];
        }
        else {
            cnt+=m-p+1;
            t[ai++]=A[q++];
        }
    }   
    Fork(i,l,r) A[i]=t[i];
    return cnt;
}

int ID(int x,int y,int z) { //0<=x,y,z<n
    return z*n*n+y*n+x+1;
}

int main()
{
//  freopen("uva716.in","r",stdin);
//  freopen(".out","w",stdout);

    int T=read();
    while (T--) {
        n=read();
        int px,py,pz;
        Rep(z,n) {
            Rep(y,n) For(x,n) {
                int id=z*n*n+y*n+x;
                A[id]=read();
                if (!A[id]) px=x-1,py=y,pz=z;
            }
        }
        while (px<n-1) {
            swap(A[ID(px,py,pz)],A[ID(px+1,py,pz)]);
            ++px;
        }
        while (py<n-1) {
            swap(A[ID(px,py,pz)],A[ID(px,py+1,pz)]);
            ++py;
        }
        while (pz<n-1) {
            swap(A[ID(px,py,pz)],A[ID(px,py,pz+1)]);
            ++pz;
        }
        ll p=merge_count(1,n*n*n-1);
        p=p&1;
        if(p) puts("Puzzle is unsolvable.");
        else puts("Puzzle can be solved.");

    }

    return 0;
}