POJ - 1830 开关问题【异或高斯消元】

最新推荐文章于 2021-03-05 11:35:53 发布

niiick

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分类专栏： # 高斯消元

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/niiick/article/details/88748632

高斯消元专栏收录该内容

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博客围绕N个开关状态操作问题展开，目标是经若干次操作使开关达到特定状态，每个开关最多操作一次。给出输入输出格式，输入含测试组数、开关初始与目标状态及关联关系，输出为可行方法总数或无解提示。还介绍通过异或方程和高斯消元求解的思路。

Time limit 1000 ms
Memory limit 30000 kB

有N个相同的开关，每个开关都与某些开关有着联系，每当你打开或者关闭某个开关的时候，其他的与此开关相关联的开关也会相应地发生变化，即这些相联系的开关的状态如果原来为开就变为关，如果为关就变为开。你的目标是经过若干次开关操作后使得最后N个开关达到一个特定的状态。对于任意一个开关，最多只能进行一次开关操作。你的任务是，计算有多少种可以达到指定状态的方法。（不计开关操作的顺序）

Input

输入第一行有一个数K，表示以下有K组测试数据。
每组测试数据的格式如下：
第一行一个数N（0 < N < 29）
第二行 N个0或者1的数，表示开始时N个开关状态。
第三行 N个0或者1的数，表示操作结束后N个开关的状态。
接下来每行两个数I J，表示如果操作第 I 个开关，第J个开关的状态也会变化。每组数据以 0 0 结束。

Output

如果有可行方法，输出总数，否则输出“Oh,it’s impossible~!!” 不包括引号

题目分析

$a_{i,j}=0/1$ 表示开关 $j$ 是否影响开关 $i$ ， $x_i=0/1$ 表示是否操作开关 $i$
$s_i,t_i$ 为开关 $i$ 的初始/目标状态，列出异或方程
$tn\left\{\begin{aligned}a_{1,1}x_1\ Xor\ a_{1,2}x_2\ Xor\dots Xor\ a_{1,n}x_n=s_1\ Xor\ t_1 \\ a_{2,1}x_1\ Xor\ a_{2,2}x_2\ Xor\dots Xor\ a_{2,n}x_n=s_2\ Xor\ t_2 \\ \dots \\ a_{n,1}x_1\ Xor\ a_{n,2}x_2\ Xor\dots Xor\ a_{n,n}x_n=s_n\ Xor\ t_n\end{aligned}\right.$

特别的，令 $a_{i,i}=1$ ，进行异或高斯消元即可
由于n范围很小，可以利用状态压缩思想，矩阵每行都用一个整数表示，其中第0位是等号右边的常数

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long lt;
typedef double dd;

int read()
{
    int f=1,x=0;
    char ss=getchar();
    while(ss<'0'||ss>'9'){if(ss=='-')f=-1;ss=getchar();}
    while(ss>='0'&&ss<='9'){x=x*10+ss-'0';ss=getchar();}
    return f*x;
}

const int maxn=110;
int T,n;
int a[maxn];

int gauss()
{
	int res=1;
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		for(int j=i+1;j<=n;++j)
		if(a[j]>a[i]) swap(a[j],a[i]);
		
		if(a[i]==0) return 1<<(n-i+1);
		else if(a[i]==1) return -1;
		
		for(int k=n;k>=1;--k)
		if(a[i]&(1<<k)){
			for(int j=1;j<=n;++j)
			if( i!=j && (a[j]&(1<<k)) ) a[j]^=a[i];
			break;
		}
	}
	return res;
}

int main()
{
    T=read();
    while(T--)
    {
    	n=read();
    	for(int i=1;i<=n;++i) a[i]=read();
		for(int i=1;i<=n;++i) a[i]^=read();
		for(int i=1;i<=n;++i) a[i]|=1<<i;
		
		int x,y;
		while(scanf("%d%d",&x,&y)!=EOF)
		{
			if(x==0&&y==0) break;
			a[y]|=1<<x;
		}
		
		int ans=gauss();
		if(ans==-1) printf("Oh,it's impossible~!!\n");
		else printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}