BZOJ1069 || 洛谷P4166 [SCOI2007]最大土地面积【凸包+旋转卡壳】

原创于 2019-03-21 12:43:07 发布 · 158 阅读

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博客围绕平面土地上选四个点围出最大面积多边形的问题展开。给出输入格式，即先输入点的数量，再输入各点横纵坐标；输出为最大多边形面积，精确到小数点后3位。还给出数据范围，并分析解题思路，需先求凸包，再枚举对角线，利用旋转卡壳维护对踵点。

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Description

在某块平面土地上有N个点，你可以选择其中的任意四个点，将这片土地围起来，当然，你希望这四个点围成的多边形面积最大。

Input

第1行一个正整数N，接下来N行，每行2个数x,y，表示该点的横坐标和纵坐标。

Output

最大的多边形面积，答案精确到小数点后3位。

HINT

数据范围 n<=2000, |x|,|y|<=100000

题目分析

首先四边形的定点一定在凸包上，所以凸包肯定要先求
然后先枚举四边形的一条对角线，再在对角线两侧分别找一个点使得两边三角形面积最大
这个使得一侧三角形面积最大的点一定是当前对角线的对踵点，显然可以利用旋转卡壳先行维护
所以总复杂度就是枚举对角线的复杂度 $O(n^2)$

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long lt;
typedef double dd;
#define sqr(x) ((x)*(x)) 

int read()
{
    int x=0,f=1;
    char ss=getchar();
    while(ss<'0'||ss>'9'){if(ss=='-')f=-1;ss=getchar();}
    while(ss>='0'&&ss<='9'){x=x*10+ss-'0';ss=getchar();}
    return x*f;
}

const int maxn=10010;
int n;
struct point{dd x,y;}p[maxn],cvh[maxn];
int st[maxn],top;

bool cmp(point a,point b){ 
    if(a.x==b.x) return a.y<b.y;
    else return a.x<b.x;
}

point operator -(point a,point b){ return (point){ a.x-b.x, a.y-b.y};}
dd operator *(point a,point b){ return a.x*b.y-a.y*b.x;}
dd getdis(point a,point b){ return sqrt(sqr(a.x-b.x)+sqr(a.y-b.y));}
dd calc(point a,point b,point c){return fabs((b-a)*(c-a));}

void Graham()
{
    sort(p+1,p+1+n,cmp);
    top=0; st[++top]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        while(top>1&&(p[i]-p[st[top]])*(p[st[top]]-p[st[top-1]])<=0) top--;
        st[++top]=i;
    }
    int tt=top;
    for(int i=n-1;i>=1;--i)
    {
        while(top>tt&&(p[i]-p[st[top]])*(p[st[top]]-p[st[top-1]])<=0) top--;
        st[++top]=i; 
    }
    for(int i=1;i<=top;++i) cvh[i]=p[st[i]];
}

dd solve()
{
    dd res=0;
    for(int i=1;i<top-3;++i)
    {
    	int a=i+1,b=i+3;
    	for(int j=i+2;j<top;++j)
    	{
    		while(a+1<j&&calc(cvh[i],cvh[j],cvh[a])<calc(cvh[i],cvh[j],cvh[a+1])) a++;
    		while(b+1<top&&calc(cvh[i],cvh[j],cvh[b])<calc(cvh[i],cvh[j],cvh[b+1])) b++;
    		res=max(res,calc(cvh[i],cvh[j],cvh[a])+calc(cvh[i],cvh[j],cvh[b]));
        }
    }
    return res;
}
int main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;++i)
    scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);
    
    Graham();
    printf("%.3lf\n",solve()/2.0);
    return 0;
}