洛谷P1005 矩阵取数游戏【记忆化搜索】

最新推荐文章于 2023-08-22 14:57:40 发布

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针对一个n×m的矩阵，每次从每行取一个元素，共取m次，每次取数得分为元素值乘以2的幂次方，求取数后的最大得分。通过动态规划算法，将取数方式转化为在每一行按一定顺序取完所有数，计算每一行取数总分最大值并相加得到最终答案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

帅帅经常跟同学玩一个矩阵取数游戏：对于一个给定的 $\times m$ 的矩阵，矩阵中的每个元素 $a_{i,j}$ 均为非负整数。游戏规则如下：

每次取数时须从每行各取走一个元素，共 $n$ 个。经过 $m$ 次后取完矩阵内所有元素；
每次取走的各个元素只能是该元素所在行的行首或行尾；
每次取数都有一个得分值，为每行取数的得分之和，每行取数的得分 = 被取走的元素值 $×2i\times 2^i$ ，其中ii表示第i次取数（从1开始编号）；
游戏结束总得分为m次取数得分之和。
帅帅想请你帮忙写一个程序，对于任意矩阵，可以求出取数后的最大得分。

输入格式：

输入文件包括n+1行：

第1行为两个用空格隔开的整数n和m

第2~n+1行为n×m矩阵，其中每行有m个用单个空格隔开的非负整数。

输出格式：

输出文件仅包含1行，为一个整数，即输入矩阵取数后的最大得分。

说明

数据范围：
60%的数据满足： $1 \leq n, m \leq 30$ ，答案不超过 $10^{16}$
100%的数据满足： $\le a_{i,j} \le 1000$

题目分析

被高精度活活卡死的记搜~~大水题~~
试着把取数方式看作 在每一行按一定的顺序依次取完m个数，总共n行所以取n次
显然与原来的方式是等价的

那么我们可以依次计算每一行取数总分最大值，把n行的最大值相加作为答案
假设在某一行内 $d p [i] [l l] [r r]$ 表示第 $i$ 轮，当前队首为 $l l$ 队尾为 $r r$ ，取到最后能得的最大分数

状态转移方程
$dp[k][ll][rr]=max(DP(k+1,ll+1,rr)+a[ll]*2^i,DP(k+1,ll,rr-1)+a[rr]*2^i);$
加上记忆化即可

活活被卡死在高精度，实所无奈直接用了__int128

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef __int128 lt;

lt read()
{
    lt f=1,x=0;
    char ss=getchar();
    while(ss<'0'||ss>'9'){if(ss=='-')f=-1;ss=getchar();}
    while(ss>='0'&&ss<='9'){x=x*10+ss-'0';ss=getchar();}
    return f*x;
}

void print(lt x)
{
    if(x<0){putchar('-');x=-x;}
    if(x>9)print(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}

const int maxn=90;
int n,m;
lt a[maxn][maxn];
lt dp[maxn][maxn][maxn],ans;

lt qpow(lt a,lt k)
{
    lt res=1;
    while(k>0){
        if(k&1) res*=a;
        a*=a; k>>=1;
    }
    return res;
}

lt DP(lt k,int ll,int rr,int d)
{
    if(dp[k][ll][rr]) return dp[k][ll][rr];
    lt tpow=qpow(2,k);
    if(ll==rr) return a[d][ll]*tpow;
    return dp[k][ll][rr]=max(DP(k+1,ll+1,rr,d)+a[d][ll]*tpow,DP(k+1,ll,rr-1,d)+a[d][rr]*tpow);
}

int main()
{
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=n;++i)
    for(int j=1;j<=m;++j)
    a[i][j]=read();
    
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
    	memset(dp,0,sizeof(dp));
        ans+=DP(1,1,m,i);
    }
    print(ans);
    return 0;
}