洛谷P1868 饥饿的奶牛【DP】

最新推荐文章于 2023-06-24 12:25:57 发布

原创最新推荐文章于 2023-06-24 12:25:57 发布 · 461 阅读

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动态规划--DP 专栏收录该内容

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本文介绍了一道关于选择不重叠区间以最大化牧草数量的问题，并提供了一种基于动态规划和二分查找的高效解决方案。通过将区间按右端点排序并利用dp数组来跟踪最优解，该算法能在O(n log n)的时间复杂度内解决问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

时空限制 1000ms / 128MB

题目描述

有一条奶牛冲出了围栏，来到了一处圣地（对于奶牛来说），上面用牛语写着一段文字。
现用汉语翻译为：
有N个区间，每个区间x，y表示提供的x~y共y-x+1堆优质牧草。你可以选择任意区间但不能有重复的部分。
对于奶牛来说，自然是吃的越多越好，然而奶牛智商有限，现在请你帮助他。

输入格式：

第一行，N，如题
接下来N行，每行一个数x，y，如题

输出格式：

一个数，最多能吃到的牧草堆数

说明

1<=n<=150000
0<=x<=y<=3000000

题目分析

先将所有草堆以右端点为第一关键字排序
$d p [i]$ 表示考虑前 $i$ 堆草能获得的最大数量

那么有dp转移
$dp[i]=max(dp[i-1],\ R_i-L_i+1,\ max(dp[j]+R_i-L_i+1))(1<=j<i,\ R_j<L_i)$

显然 $d p [i]$ 一定是不下降的
若不存在 $j$ 满足 $1<=j<i,\ R_j<L_i)$ ，则 $dp[i]=max(dp[i-1],\ R_i-L_i+1)$
也就是要么不选第 $i$ 堆，要么只选第 $i$ 堆

而如果存在这样的 $j$
直接枚举 $j$ 去更新是 $O(n^2)$ 的，肯定T
但注意到 $d p [i]$ 的不下降性
所以直接二分寻找满足 $1 < = j < i$ 且离 $i$ 最近的 $j$ 即可

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;

int read()
{
    int f=1,x=0;
    char ss=getchar();
    while(ss<'0'||ss>'9'){if(ss=='-')f=-1;ss=getchar();}
    while(ss>='0'&&ss<='9'){x=x*10+ss-'0';ss=getchar();}
    return f*x;
}

const int maxn=200010;
int n;
struct node{int ll,rr;}rem[maxn];
bool cmp(node a,node b){return a.rr==b.rr?a.ll<b.ll:a.rr<b.rr;}
int dp[maxn];

int find(int x)
{
    int ll=1,rr=x,mid,ans=-1;
    while(ll<rr)
    {
        mid=ll+rr>>1;
        if(rem[mid].rr<rem[x].ll) ans=mid,ll=mid+1;
        else rr=mid;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;++i)
    rem[i].ll=read(),rem[i].rr=read();
    sort(rem+1,rem+1+n,cmp);
    
    dp[1]=rem[1].rr-rem[1].ll+1;
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        dp[i]=max(dp[i-1],rem[i].rr-rem[i].ll+1); 
        int j=find(i);
        if(j!=-1) dp[i]=max(dp[i],dp[j]+rem[i].rr-rem[i].ll+1);
    }
    printf("%d",dp[n]);
    return 0;
}