算法导论 思考题 4-6

a. 对行列做数学归纳。 

    行：假设 A[i,j]+A[i+1,j+1] <= A[i,j+1] +A[i+1,j]

                     A[i,j+1]+A[i+1,j+2] <= A[i+1,j+1]+A[i,j+2]

            则 A[i,j]+A[i+1,j+2]  <=A[i+1,j]+A[i,j+2]

    列：和上面差不多

b.第二行第3列7改成2就行了

c.如果f(i)>f(i+1)，那么A[i,f(i+1)]+A[i+1,f(i)]>A[i,f(i)]+A[i+1,f(i+1)]，因为A[i,f(i)]和A[i+1,f(i+1)]分别为那一行最小元素，就不符合Monge条件了

d.设i为奇数，在确定第i-1和i+1行最小元素位置之后，只要在f(i-1)和f(i+1)之间寻找最小元素即可。

    f(2)，f(4)，f(6)……之间的距离和为n，再加上每次循环奇数行，共m/2，所以时间复杂度一共是n+m/2，即O(m+n)

e. T(m,n)=T(m/2,n)+m+n 

     递归树一共lgm+1层，每层一个元素，代价n+m/2ⁱ，最后一层代价O(1)

     ^{T(m,n)=∑(n+m/2i)=O(m+nlgm)}