稀疏表Sparse Table（最易懂,最详细讲解,c语言代码版本）

目录

一.前置内容（倍增思想）

二.稀疏表的定义

 三.稀疏表的建立（含C详解代码）

四.稀疏表的查询

 五.总结

一.前置内容（倍增思想）

• 定义：每次通过倍增加速状态转移、预处理或查询（很多时候能把时间复杂度降到O(logN)）

解释一下：任意整数均可以被表示成若干个2的次幂之和即二进制。倍增就是成倍增加，若问题的状态空间特备大，则一步步的递推算法复杂度太高，可以通过倍增的思想，只考虑2的整数次幂位置，快速缩小求解范围直到找到解。

实际应用：动态数组，稀疏表，后缀数组，快速幂等等很多问题的解决都是用的倍增思想。

举个栗子：比如在一颗树中查找一个数x,这是一颗父节点比子节点大的树

每次可以以2的次幂形式往上查找。

二.稀疏表的定义

稀疏表可以在O(1)时间在线查询【l,r】区间的最值问题。

定义F【i,j】i是区间的起始位置，区间长度为

 

 可以得出递推公式

 

 三.稀疏表的建立（含C详解代码）

1.我们先考虑一下i和j的取值范围

若数组长度为n,最大区间长度，最大区间长度那么k是

 

比如:n = 16,k = 4。n = 20, k = 4

代码实现求解k

得出j的范围是【1,k】,i的范围是【1,】

 代码实现：时间复杂度O(nlogn)

 我举个栗子画个图直观感受下：
例如a[1...10] = {5,3,7,2,12,1,6,4,8,15}创立的稀疏表为

 例如：F[1][3]就是从1开始长度为8的区间最大值

四.稀疏表的查询

此时已经建立了稀疏表，假设查询【L,R】区间最值，则首先需要计算区间长度，区间长度为

然后转化为2次幂的形式

 

 根据倍增思想，我们将查询区间分为两个查询区间，取两个区间的最值即可。

那该如何划分区间呢？

分别从L向后的个数和从R向前的个数

 代码实现：时间复杂度O(1)

 五.总结

稀疏表Sparse Table不支持在线修改，因为修改后要推翻原先已经建立的ST表。

RMQ问题就是区间最值查询（range max/min query）有多种解决办法，用线段树和ST解决都可以

区别如下：