16、数字RBF神经网络控制与离散神经网络控制

数字RBF神经网络控制与离散神经网络控制

1. 数字RBF神经网络控制

1.1 自适应Runge–Kutta–Merson方法

在数字计算机实现反馈控制时，通常使用零阶保持器，使输入在采样间隔 $T_s$ 内保持恒定，即 $u(t) = u(nT_s)$ ，其中 $nT_s \leq t \leq (n + 1)T_s$。我们要讨论的是在离散时间点 $0, T_s, 2T_s, \cdots, nT_s$ 对微分方程 $\dot{x}(t) = f(x(t))$ ，$\dot{x}(0) = x_0$ 进行数值求解。

常用的求解微分方程的方法是Runge–Kutta方法，其中四阶Runge–Kutta方法公式如下：
给定初值问题 $\dot{x}(t) = f(x(t))$ ，$\dot{x}(0) = x_0$ ，则 $x$ 在 $t = t_0 + (n + 2)T$ 时刻的值可由 $t = t_0 + nT$ 时刻的值通过以下公式计算：
[
x_{n + 1} = x_n + \frac{1}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)
]
其中：
[
\begin{align }
k_1 &= Tf(t_n, x_n)\
k_2 &= Tf(t_n + \frac{1}{2}T, x_n + \frac{1}{2}k_1)\
k_3 &= Tf(t_n + \frac{1}{2}T, x_n + \frac{1}{2}k_2)\
k_4 &= Tf(t_n + T, x_n + k_3)
\end{align