9、基于HJI的RBF神经网络鲁棒控制

基于HJI的RBF神经网络鲁棒控制

1. 基础理论

考虑一个系统，其状态方程可以表示为：
[
\begin{cases}
\dot{x} = f(x) + g(x)d \
z = h(x)
\end{cases}
\quad(6.25)
]
其中，$d$ 是干扰，$z$ 是系统的评价信号。

对于信号 $d(t)$，其 $L_2$ 范数定义为：
[
\left\lVert d(t) \right\rVert_2 = \left(\int_{0}^{\infty} d^T(t)d(t)dt\right)^{\frac{1}{2}}
]
该范数表示信号 $d(t)$ 的能量。

为了衡量系统对干扰的抑制能力，定义性能指标 $J$ 为：
[
J = \sup_{\left\lVert d \right\rVert \neq 0} \frac{\left\lVert z \right\rVert_2}{\left\lVert d \right\rVert_2}
\quad(6.26)
]
$J$ 被称为系统的 $L_2$ 增益，它反映了系统的鲁棒性能指标。$J$ 值越小，系统的鲁棒性能越好。

根据相关定理和系统 (6.25)，HJI（Hamilton - Jacobi 不等式）可以描述为：对于一个正数 $\gamma$，如果存在正定的拟可微函数 $L(x) \geq 0$，并且满足：
[
\dot{L} \leq \frac{1}{2} \left(\gamma^2 \left\lVe