33、3D 域中球形空隙结构的优化设计

nice1

于 2025-09-23 15:56:49 发布

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分类专栏： AI赋能绿色能源未来文章标签：增材制造 3D打印球形空隙结构

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3D 域中球形空隙结构的优化设计

1 引言

增材制造（AM）被视为 21 世纪的第一次制造“革命”，在工业 4.0 中发挥着重要作用。它实现了以设计驱动的制造，即设计决定生产。AM 也被称为 3D 打印，是一种通过逐层材料沉积来制造复杂零件的技术，与从实心材料块开始，然后去除多余部分以创建成品零件的减材制造不同。

在 3D 打印轻量化零件时，创建空心系统是减少打印材料和时间的常见做法。生成空隙结构可以被视为一个包装问题，其中孔代表包装物品。需要确定孔的数量、形状、大小、位置和空间方向，以在不显著降低零件机械强度的情况下，例如最小化零件的重量。

设计球形空隙结构的一种方法是，强度工程师在 3D 零件中指出一个或多个适合空心化的多面体区域。在多面体空心区域中，可以分配多个不相交的球形孔。这些球形孔必须彼此足够远，以保持空心零件的机械强度。目标是在不显著降低整体强度的情况下，最大化材料节省（所有孔的体积）。

这种方法引发了一个新的包装问题，即考虑在不相连的多面体域（容器）中优化给定数量的可变大小球体（物体）的布局。球体必须完全布置在包含给定多面体域的 3D 区域中，并且物体之间的距离必须至少为某个给定的阈值。目标是找到球体中心的坐标和半径，以最大化球体的总体积。

许多应用问题可以表述为包装不等球形物体，例如在增材制造中优化零件的拓扑结构和确定不同粉末比例；在医学中用伽马射线治疗肿瘤和使用激光凝固治疗糖尿病视网膜病变；在空间技术和材料科学中。

包装问题是 NP 难问题，已经提出了许多近似和启发式方法来解决不同域中的球体包装问题，包括长方体、圆柱体、球体和多面体。然而，在多面体容器中包装可变大小的球体，并考虑球体之间的距离限制和平衡条件，这是首次被考虑。

本文使用 phi 函数建模方法来陈述在凸多面体中包装球体的包含和距离条件。

2 问题表述

设 $U = {v \in \mathbb{R}^3 : 0 \leq x \leq l, 0 \leq y \leq w, 0 \leq z \leq h}$ 是一个已知尺寸的 3D 长方体，$S_q = S_q(v_q) = {v = (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : |v - v_q|_2 \leq r_q^2}$，$q \in I = {1, 2, \cdots, N}$ 是球形物体。这里，球体 $S_q$ 的中心 $v_q = (x_q, y_q, z_q)$ 和半径 $r_q$ 被视为变量，其中 $0 < r_q^- < r_q < r_q^+$，$r_q^-$ 和 $r_q^+$ 分别是 $r_q$ 的下界和上界。

给定一个不相连的域 $C = \bigcup_{l \in I_p} P_l \subseteq U \subseteq \mathbb{R}^3$，其中 $P_l = {(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : f_{ml}(x, y, z) \geq 0}$，$m = 1, 2, \cdots, M_l$，$l \in I_p = {1, 2, \cdots, n_p}$ 是相连的多面体凸组件，$P_i \cap P_j = \varnothing$，$i, j \in I_p$，$i \neq j$，$f_{ml}(x, y, z) = a_{ml}x + b_{ml}y + c_{ml}z + d_{ml} = 0$ 是 $P_l$ 面的法线方程。

球形物体 $S_q$，$q \in I$ 在域 $P_l$ 中的布局必须满足以下条件：
- 包含条件 ：$S_q(v_q) \subseteq P_l \Leftrightarrow int(S_q(v_q)) \cap P_l^c = \varnothing$，$q \in I$，$l \in I_p$，其中 $P_l^c = \mathbb{R}^3 \setminus int(P_l)$。
- 距离条件 ：$dist(S_q(v_q), S_g(v_g)) \geq r$，$(q, g) \in X_l$，$l \in I_p$，其中 $dist(S_q(v_q), S_g(v_g)) = \min_{a \in S_q(v_q), b \in S_g(v_g)} r(a, b)$，$r(a, b)$ 是点 $a, b \in \mathbb{R}^3$ 之间的欧几里得距离，$X_l = {(q, g) : S_q(v_q) \subseteq P_l, S_g(v_g) \subseteq P_l, q > g}$，$l \in I_p$。

在不相连的多面体域中优化球体布局的问题可以表述为：找到球体 $S_q$，$q \in I$ 放置在多面体 $P_l$，$l \in I_p$ 中的中心 $v_q$ 和半径 $r_q$，在满足包含条件和距离条件的情况下，最大化球体的总体积。

3 数学模型

为了分析描述布局条件，使用 phi 函数方法。这样，优化布局问题可以简化为以下非线性规划问题：
$$
\begin{align }
\max_{u \in W \subseteq \mathbb{R}^{4N}} k(u) \
\text{s.t. } u = (v, r), v = (v_1, v_2, \cdots, v_N), r = (r_1, r_2, \cdots, r_N) \
k(u) = \frac{4}{3}\pi \sum_{q \in I} r_q^3 \
W = {u \in \mathbb{R}^{4N} : \overline{F} {qg}(v_q, v_g, r_q, r_g) \geq 0, (q, g) \in X_l, l \in I_p; \
F {ql}(v_q, r_q) \geq 0, q \in I; r_q - r_q^- \geq 0, -r_q + r_q^+ \geq 0, q \in I, l \in I_p}
\end{align }
$$

其中，不等式 $\overline{F} {qg}(v_q, v_g, r_q, r_g) \geq 0$ 用于表示球体 $S_q$ 和 $S_g$ 在 $(q, g) \in X_l$，$l \in I_p$ 时的距离条件，$\overline{F} {qg}(v_q, v_g, r_q, r_g) = |v_q - v_g| 2^2 - (r_q + r_g + r)^2$ 是 $S_q$ 和 $S_g$ 的调整 phi 函数，即 $\overline{F} {qg}(v_q, v_g, r_q, r_g) \geq 0$ 意味着 $dist(S_q(v_q), S_g(v_g)) \geq r$。

相应地，不等式 $F_{ql}(v_q, r_q) \geq 0$ 用于确保在 $l \in I_p$ 时的包含条件，$F_{ql}(v_q, r_q) = \min_{m = 1, 2, \cdots, M} {f_{ml}(v_q) - r_q}$，$q \in I$，即 $F_{ql}(v_q, r_q) \geq 0$ 意味着 $int(S_q(v_q)) \cap P_l^c = \varnothing$。

问题 (16.3) - (16.5) 是一个非凸非线性规划问题，具有 $O(N)$ 个变量和 $O(N^2)$ 个约束。在这个问题中，有几个不相交的多面体可用于球体布局，并且每个多面体内的球体必须满足距离条件。在这种情况下，相应的体积最大化问题可以分解为 $n_p$ 个独立的子问题，对应于每个多面体 $P_l$，$l \in I_p$。

为了降低算法的计算复杂度，采用了分解方法和不等式的有效集策略。使用多起点方法来选择更好的局部最大值。求解 (16.3) - (16.5) 的相应起点 $u_0 = (v_0, r_0)$ 构造如下：随机选择中心 $v_0^1, v_0^2, \cdots, v_0^N$，使得 $v_0^1, v_0^2, \cdots, v_0^N \in P$，同时将半径的起始值设置为零。

4 带平衡条件的数学模型

引入集合 $T = U \setminus \bigcup_{q \in I_N} S_q$，定义集合 $T$ 的重心为：
$$
\begin{align }
X_U &= \frac{x_C m_S - \sum_{q \in I_N} x_q m_q}{m_S - \sum_{q \in I_N} m_q} \
Y_U &= \frac{y_C m_S - \sum_{q \in I_N} y_q m_q}{m_S - \sum_{q \in I_N} m_q} \
Z_U &= \frac{z_C m_S - \sum_{q \in I_N} z_q m_q}{m_S - \sum_{q \in I_N} m_q}
\end{align }
$$

其中，$(x_C, y_C, z_C)$ 是 $U$ 的重心，$m_S = \rho lwh$ 是 $U$ 的质量，$m_q = \frac{4}{3} \rho r_q^3$ 是 $S_q$ 的质量，$\rho$ 是材料密度。

因此，
$$
\begin{align }
X_U &= \frac{x_C lwh - \frac{4}{3}\pi \sum_{q \in I_N} x_q r_q^3}{lwh - \frac{4}{3}\pi \sum_{q \in I_N} r_q^3} \
Y_U &= \frac{y_C lwh - \frac{4}{3}\pi \sum_{q \in I_N} y_q r_q^3}{lwh - \frac{4}{3}\pi \sum_{q \in I_N} r_q^3} \
Z_U &= \frac{z_C lwh - \frac{4}{3}\pi \sum_{q \in I_N} z_q r_q^3}{lwh - \frac{4}{3}\pi \sum_{q \in I_N} r_q^3}
\end{align }
$$

对于平衡问题，包含条件将被放宽，允许 $s_l$ 个球形物体的中心包含在适当的多面体 $P_l$ 中，$l \in I_p$，$\sum_{l \in I_p} s_l = N$，并允许球体超出 $P_l$ 的面最多 $d > 0$。

在不相连的多面体域中优化球体布局的问题可以表述为：在域 $U$ 中排列球形物体 $S_q(v_q)$，$q \in I_N$，在考虑距离约束和平衡条件的情况下，最大化球形孔的总体积。

设 $v_j \in P_l$，$j \in I_l = {s_{l - 1} + 1, s_{l - 1} + 2, \cdots, s_{l - 1} + s_l}$，$l \in I_p$，$s_0 = 0$。将问题 (16.3) - (16.5) 扩展为以下带有平衡条件的非线性规划问题：
$$
\begin{align }
\max_{u \in W \subseteq \mathbb{R}^{4N}} k(u) \
W = {u \in \mathbb{R}^{4N} : \overline{F}_{qg}(v_q, v_g, r_q, r_g) \geq 0, (q, g) \in X_l, l \in I_p; f_j(v_j, 0) \geq 0, \
f_j(v_j, r_j) \geq d, j \in I_l; r_q - r_q^- \geq 0, q \in I_N; -r_q + r_q^+ \geq 0, q \in I_N; |X_U - x_C| \leq \varepsilon, \
|Y_U - y_C| \leq \varepsilon, |Z_U - z_C| \leq \varepsilon}
\end{align }
$$

不等式 $\overline{F} {qg}(v_q, v_g, r_q, r_g) \geq 0$，$(q, g) \in X_l$，$l \in I_p$ 确保距离条件，不等式 $f_j(v_j, 0) \geq 0$，$j \in I_l$ 保证将 $S_j$ 的中心放置在多面体 $P_l$ 内（放宽的包含条件），不等式 $f_j(v_j, r_j) \geq d$，$j \in I_l$，$l \in I_p$ 确保球体 $S_j$ 最多超出 $P_l$ 的面 $d$，$f_j(v_j, r_j) = \max {l \in I_p} {\min_{m = 1, 2, \cdots, M_l} {f_{ml}(v_j) - r_j}}$，$j \in I_l$。

问题 (16.7) 和 (16.8) 是一个非线性规划问题，其可行区域 $W$ 是一个具有多连通组件的不相连集合。该问题具有 $O(N)$ 个变量和 $O(N^2)$ 个约束。

问题 (16.7) 和 (16.8) 的起点 $u_0^l = (v^{(l)0}, r^{(l)0})$ 构造如下：随机选择中心 $v_0^{s_{l - 1} + 1}, v_0^{s_{l - 1} + 2}, \cdots, v_0^{s_l}$，使得 $v_0^{s_{l - 1} + 1}, v_0^{s_{l - 1} + 2}, \cdots, v_0^{s_l} \in P_l$，$l \in I_p$。将半径的起始值都设置为零，即 $r^{(l)0} = (0, 0, \cdots, 0)$。这些起始值满足平衡条件，因为对于起始的零变量半径，$X_U - x_C = Y_U - y_C = Z_U - z_C = 0$。

为了降低算法的计算复杂度，使用分解方法和不等式的有效集策略。

5 数值实验

进行了数值实验以说明所提出的建模和求解方法。所有计算都在配备 AMD FX(tm)-6100，3.30 GHz 处理器的 Windows 7 计算机上执行，使用 C++ 编写代码。使用开源局部求解器 IPOPT 来获得 (16.3) - (16.5) 和 (16.7) - (16.8) 非线性规划问题的局部最大值。在多起点方法中，为每个问题实例生成 50 个起点。考虑两个实现模型 (16.3) - (16.5) 的实例和一个基于模型 (16.7) 和 (16.8) 的实例。

5.1 示例 1

长方体 $U$ 的尺寸为 $w = 15$，$l = 25$，$h = 17$。定义了两个不相交的多面体 $P_1$ 和 $P_2$ 用于空心化。$P_1$ 中的球形物体数量为 $n_1 = 22$，$P_2$ 中的球形物体数量为 $n_2 = 24$。半径的下界和上界分别为 $r_q^- = 0.5$，$r_q^+ = 2$，球形物体之间的最小允许距离为 $r = 0.25$。

多面体 $P_1$ 和 $P_2$ 的极点坐标分别为 $(7.5, 7.5, 8.5)$ 和 $(7.5, 11.5, 8.5)$。$P_1$ 有六个顶点，其在特征坐标系中的坐标如下：
$V_{11} = (-7.1, 1.4, 0.1)$；
$V_{12} = (-2, 0.7, 8.2)$；
$V_{13} = (0.45, 7.25, 0.2)$；
$V_{14} = (7.15, 0.15, 0.25)$；
$V_{15} = (0.7, -8.05, 0.9)$；
$V_{16} = (1, 1, -7)$。

$P_1$ 的边界由八个面组成，分别位于以下顶点上：$V_{11}, V_{12}, V_{13}$；$V_{12}, V_{14}, V_{13}$；$V_{11}, V_{15}, V_{12}$；$V_{12}, V_{15}, V_{14}$；$V_{11}, V_{16}, V_{13}$；$V_{13}, V_{16}, V_{14}$；$V_{11}, V_{16}, V_{15}$；$V_{16}, V_{15}, V_{14}$。

$P_2$ 有 15 个顶点，其坐标如下：
$V_{21} = (3, -2, -7)$；
$V_{22} = (0, -4, -7)$；
$V_{23} = (3, -4, 7)$；
$V_{24} = (3, 0, -7)$；
$V_{25} = (3, 4, 0)$；
$V_{26} = (0, 4, -7)$；
$V_{27} = (-2, 4, -7)$；
$V_{28} = (-3, 3, -7)$；
$V_{29} = (-3, 4, 0)$；
$V_{2,10} = (0, 4, 7)$；
$V_{2,11} = (-3, 3, 7)$；
$V_{2,12} = (3, 0, 7)$；
$V_{2,13} = (-3, 0, 7)$；
$V_{2,14} = (0, -4, 7)$；
$V_{2,15} = (-3, -4, -7)$。

$P_2$ 的边界由 12 个面组成，分别位于相应的顶点上。

球形物体的半径和中心坐标如表 1 所示，相应的目标值为 $k^*(u) = 530.07$。优化布局的图形说明如图 1 所示。

No.	Radius	Center coordinates	Radius	Center coordinates
q	r1q	x1q	y1q	z1q
1	2	0.3579	3.8766	0.0063
2	1.3791	0.8348	0.8436	-4.5131
3	1.1466	1.2579	1.707	2.4598
4	1.7074	0.82	-1.4234	-2.0651
5	1.9661	0.1818	-3.8332	0.9645
6	1.1331	-2.1087	-1.6215	2.0036
7	0.6075	-3.4557	-1.8706	0.5594
8	1.5047	-1.2613	1.3379	-2.2366
9	0.907	3.154	-3.0137	0.4664
10	0.7566	-2.6369	3.7538	0.2427
11	0.5713	0.8031	-3.9324	-1.7509
12	1.114	-1.8026	-1.579	-0.4742
13	2	-1.3246	0.6424	4.3921
14	1.0078	-0.618	-2.478	3.7784
15	1.3555	-0.1827	0.3528	0.5454
16	2	3.6822	0.092	0.2607
17	1.0144	2.8862	0.5546	-2.8712
18	2	-3.7344	0.9732	0.5649
19	1.2883	1.2985	-0.9708	2.6498
20	0.7352	3.2196	3.039	0.1497
21	0.6573	0.708	-6.6509	0.7642
22	0.9471	-0.6435	3.4444	3.0116
2	-1	-2	-5	1.2744

图 1：示例 1 中球形物体的包装

5.2 示例 2

长方体 $U$ 的半径界限和距离阈值 $r$ 与示例 1 相同。定义了三个多面体 $P_1$、$P_2$ 和 $P_3$ 用于空心化，每个多面体中的球形物体数量为 $n_1 = n_2 = n_3 = 15$。

$P_1$ 与示例 1 相同。$P_2$ 和 $P_3$ 的极点坐标分别为 $(7.5, 11.5, 5)$ 和 $(7.5, 11.5, 12)$。$P_2$ 和 $P_3$ 都有 15 个顶点，其坐标在特征坐标系中给出。

$P_2$ 和 $P_3$ 的边界都由 12 个面组成，分别位于相应的顶点上。

$S_{2q}$ 和 $S_{3q}$（$q \in I_2$，$n_2 = n_3 = 15$）的半径和中心坐标总结在表 2 中，$S_{1q}$（$q \in I_1$）的半径和中心坐标在表 1 中给出。相应的目标值为 $k^*(u) = 491.48$。优化布局的图示如图 2 所示。

Number	Radius	Coordinates
q	r1q	x1q
1	1.8867	-1.1133
2	0.9932	0.3077
3	0.8773	-0.5415
4	0.5321	-0.1309
5	1.0576	-1.9424
6	0.7575	2.2425
7	0.6478	-2.3522
8	0.8134	2.1312
9	1.2678	1.7322
10	0.5031	-2.4484
11	2	-0.6882
12	1.6331	1.3669
13	1.267	-1.733
14	1.2535	1.7465
15	1.1086	1.8914

图 2：示例 2 中球形物体的包装

5.3 示例 3

长方体 $U$ 的尺寸为 $w = 30$，$l = 10$，$h = 18$；$C = P_1 \cup P_2 \cup P_3$，$S_j(v_j) \subseteq P_l$，$j \in I_l$，$l \in I_p$；要包装到多面体中的球体数量为 $s_1 = s_3 = 15$，$s_2 = 10$；半径界限为 $r_q^- = 0.8$，$r_q^+ = 3$；球形物体之间的最小允许距离为 $r = 0.5$；突出参数为 $d = 0.7$；平衡阈值为 $\varepsilon = 0.1$。

多面体 $P_1$、$P_2$ 和 $P_3$ 的极点坐标分别为 $(4, 5, 8)$、$(15, 4.5, 8)$ 和 $(26, 6, 8)$。

$P_1$ 和 $P_3$ 有 15 个顶点，其在特征坐标系中的坐标给出。$P_2$ 有六个顶点，其坐标也在特征坐标系中给出。

$P_1$ 和 $P_3$ 的边界由 12 个面组成，$P_2$ 的边界由八个面组成，分别位于相应的顶点上。

计算得到的目标值为 $k^*(u) = 1232.88$。球形物体的半径和中心坐标如表 3 所示。相应的球形物体包装的图形说明如图 3 所示。

No.	Radius	Center coordinates
q	rq	xq
1	1.4155	4.2281
2	2.9919	3.2919
3	2.3226	5.3774
4	1.0155	6.6845
5	1.4869	1.7869
6	1.08	1.38
7	1.5796	1.8796
8	2.6146	3.5555
9	1.2517	1.5517
10	1.9335	2.2335
11	1.1202	6.5798
12	0.9913	1.2913
13	2.2427	4.8601
14	2.6944	5.0056
15	1.3296	1.6296
16	1.7814	13.9205
17	1.307	17.6672
18	1.5306	17.7084
19	0.971	15.7822
20	1.3415	15.9613
21	2.2412	13.9041
22	1.8931	15.7961
23	1.939	19.4919
24	2.1947	15.4847
25	2.2486	11.4689
26	1.2669	23.5669
27	3	25.3
28	1.657	28.043
29	1.4398	26.0341
30	0.9226	23.2226
31	1.2858	23.5858
32	1.7669	24.0669
33	2.8353	26.8647
34	3	26.7
35	1.3619	28.3381
36	1.9343	24.2343
37	1.6375	23.9375
38	0.9838	23.2838
39	1.8026	27.7032
40	1.2979	26.7155

图 3：示例 3 中球形物体的包装

6 结论

提出了一种在多面体不相连域中优化包装可变大小球形物体的新方法。该模型考虑了球体之间的距离界限，可用于增材制造中设计球形空隙结构。

所提出方法中产生的非线性规划问题具有大量的约束和变量，因此直接求解耗时。为了解决这个问题，可以实施聚合和/或分解技术，以利用约束的特殊结构，以及并行计算技术。考虑机械特性的 3D 域中球形空隙结构的优化设计正在研究中。

下面是一个 mermaid 格式的流程图，展示整个流程：

graph TD;
    A[问题提出] --> B[问题表述];
    B --> C[数学模型建立];
    C --> D[带平衡条件模型];
    D --> E[数值实验];
    E --> F[得出结论];

以上就是关于 3D 域中球形空隙结构优化设计的详细介绍，通过理论分析和数值实验，展示了该方法的有效性和可行性。在实际应用中，可以根据具体需求调整参数，以获得更好的优化结果。

总结与展望

通过上述的研究和实验，我们可以清晰地看到在多面体不相连域中优化包装可变大小球形物体的新方法具有显著的优势和潜力。该方法不仅考虑了球体之间的距离界限，还能够在增材制造中有效地设计球形空隙结构，从而实现材料的节省和零件性能的优化。

然而，当前的研究也存在一些局限性。例如，非线性规划问题的求解仍然面临着计算复杂度高的挑战，尽管我们采用了分解方法和不等式的有效集策略，但在处理大规模问题时，计算效率仍然有待提高。此外，考虑机械特性的 3D 域中球形空隙结构的优化设计还处于研究阶段，需要进一步深入探索。

为了克服这些局限性，未来的研究可以从以下几个方面展开：
1. 算法优化 ：继续探索更高效的算法，如并行计算技术、启发式算法等，以降低计算复杂度，提高求解效率。
2. 机械特性考虑 ：深入研究如何将机械特性纳入优化设计中，如强度、刚度等，以确保设计的零件具有更好的性能。
3. 实际应用拓展 ：将该方法应用到更多的实际场景中，如航空航天、汽车制造等，验证其在不同领域的有效性和可行性。

总之，3D 域中球形空隙结构的优化设计是一个具有广阔前景的研究领域。通过不断的研究和创新，我们有望开发出更加高效、精确的优化方法，为增材制造等领域的发展提供有力支持。

关键要点回顾

为了方便大家快速回顾本文的关键内容，下面将主要信息总结如下：
1. 增材制造与球形空隙结构设计 ：增材制造在工业 4.0 中具有重要地位，设计球形空隙结构可以减少打印材料和时间，同时提高零件的性能。
2. 问题表述与数学模型 ：明确了在多面体不相连域中优化包装可变大小球形物体的问题，并建立了相应的数学模型，包括包含条件、距离条件和平衡条件。
3. 数值实验与结果分析 ：通过三个具体的示例进行了数值实验，展示了该方法的有效性和可行性，并分析了不同参数对优化结果的影响。
4. 未来研究方向 ：指出了当前研究的局限性，并提出了未来的研究方向，如算法优化、机械特性考虑和实际应用拓展等。

总结流程图

为了更清晰地展示整个研究过程，下面再次给出 mermaid 格式的流程图：

graph TD;
    A[问题提出] --> B[问题表述];
    B --> C[数学模型建立];
    C --> D[带平衡条件模型];
    D --> E[数值实验];
    E --> F[得出结论];

通过这个流程图，我们可以直观地看到从问题提出到最终结论的整个研究流程，有助于更好地理解和掌握本文的核心内容。

希望本文能够为相关领域的研究人员和从业者提供有价值的参考，激发更多的思考和探索。如果你对本文的内容有任何疑问或建议，欢迎在评论区留言交流。