f(x,y) = xy的全微分

如果$f(x,y)=x\ast y$，则 $df$ 表示函数 $f(x,y)$ 在 $(x,y)$ 处沿着某个方向 $d\vec{r}=(dx,dy)$ 增加的变化率。根据全微分的定义，$df$ 可以表示为：

$$df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy$$

将 $f(x,y)=x\ast y$ 代入上式可得：

$$df=ydx+xdy$$

这个式子可以理解为，当在 $(x,y)$ 点沿着 $(dx,dy)$ 方向移动一点时，$f(x,y)$ 的增量为 $df$。

在几何上，$df$ 可以表示为函数 $f(x,y)$ 的梯度向量 $\nabla f$ 在 $(x,y)$ 点处与 $d\vec{r}=(dx,dy)$ 的点积，即：

$$df=\nabla f\cdot d\vec{r}$$

因此，$df$ 的几何意义是函数 $f(x,y)$ 在 $(x,y)$ 点处沿着 $d\vec{r}$ 方向的变化率。

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