X倍数问题

该博客介绍了如何使用C++编程解决一个寻找特定数的倍数序列的问题。通过给出的示例代码,展示了如何计算从2到9的每个数字的连续倍数,直到某个条件满足为止,并输出相应的序列。

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Problem B : X倍数问题

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Description

若一个整数Y的个位数为X,将X移到最高位得到的恰好是Y的X倍,称Y为一个X倍数。例如,0是一个0倍数,1是一个1倍数。

Input

Output

请依次输出最小的0倍数、1倍数、2倍数、……9倍数。每个X倍数输出一行。

Sample Input

### 关于最大公约最小公倍数问题的解决方案 对于给定两个正整 \(x_0, y_0 (2 \leq x_0 \leq 100000, 2 \leq y_0 \leq 1000000)\),要找到满足特定条件的正整对 \(P, Q\) 的量,其中这些条件是指 \(P, Q\) 应该具有 \(x_0\) 作为它们的最大公约,并且拥有 \(y_0\) 作为其最小公倍数。 #### 学关系分析 由于已知两乘积等于这两个的最大公约与最小公倍数之乘积[^1],即: \[ P \times Q = GCD(P,Q) \times LCM(P,Q) \] 因此, \[ P \times Q = x_0 \times y_0 \] 这里的关键在于理解当一对共享相同的GCD时,则这对可表示为各自除以其GCD后的互质因子相乘的结果。这意味着如果存在这样的 \(p', q'\) 对应原始的 \(P=x_0\times p'\), \(Q=x_0\times q'\),那么 \(p' * q'=y_0/x_0\) 并且 \(gcd(p', q')=1\)。 #### 枚举方法实现 为了找出所有符合条件的组合,可以通过遍历可能的因组合来解决问题。具体来说,就是枚举所有的 \(d|(\frac{y_0}{x_0})\) (即能被 \((\frac{y_0}{x_0})\) 整除),并检查每一对是否满足 gcd 等于 1 的条件。这样做的效率取决于优化过的素筛选以及快速判断两个之间是否存在公共因子的技术。 下面是 Python 实现的一个简单例子: ```python from math import gcd def count_pairs(x0, y0): result = [] ratio = y0 // x0 for i in range(1, int(ratio ** 0.5)+1): if ratio % i == 0: j = ratio // i # Check coprime condition and avoid duplicate pairs. if gcd(i, j) == 1: pair1 = sorted([i*x0, j*x0]) if not any(set(pair1)==set(item) for item in result): result.append(pair1) # Avoid square root case being counted twice. if i != ratio//i and gcd(j, i) == 1: pair2 = sorted([j*x0, i*x0]) if not any(set(pair2)==set(item) for item in result): result.append(pair2) return len(result) print(count_pairs(int(input()), int(input()))) ``` 这段代码首先定义了一个辅助函 `count_pairs` 接受参 `x0`, `y0` 表示题目中的输入值。接着通过循环迭代寻找合适的配对 `(i,j)` ,确保两者之间的比例正好是目标比率 `\frac{y_0}{x_0}` 。最后返回符合条件的不同有序对的量。
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