21、基于排名的逻辑回归：原理、优势与应用

基于排名的逻辑回归：原理、优势与应用

1. 二元分类问题概述

在许多实际场景中，我们常常需要将数据分为两个不同的类别，这就是二元分类问题。例如，银行在发放贷款时，希望根据现有客户的数据，将每个潜在客户分类为是否值得获得贷款。目标组是那些获得贷款并按时偿还的客户，而替代组则是获得贷款但未偿还的客户。为了解决这类问题，人们开发了多种方法，如感知机算法、k - 近邻（kNN）分类、随机森林、逻辑回归和支持向量机等。通常，一个组被标记为 1（目标组），另一个组被标记为 0，对于某些方法，+1 和 -1 可能是更合适的标签。这些方法的目标都是找到一个分离边界，以便准确预测新数据所属的类别。

2. 对数似然逻辑回归

2.1 基本概念

逻辑回归非常适合二元分类问题和概率预测。对于样本集中的第 $i$ 个观测值，我们定义 $Y_i \in {0, 1}$ 为二分因变量，$\mathbf{x} i = (1, x {i1}, x_{i2}, \cdots, x_{ip})^T$ 为 $(p + 1)$ 维的解释变量向量。给定 $\mathbf{x} i$ 时，$Y_i = 1$ 的条件概率为：
[P(Y_i = 1|\mathbf{x}_i) = p(\mathbf{x}_i) = \frac{1}{1 + \exp(-\mathbf{x}_i^T\boldsymbol{\beta})}]
其中，$\boldsymbol{\beta} = (\beta_0, \beta_1, \cdots, \beta_p)^T$ 是长度为 $p$ 的回归参数向量，$\beta_0$ 为截距。对上述公式进行整理，逻辑回归问题可以表示为