42、利用MUST和共享元组解释约束满足问题的不可满足性

利用MUST和共享元组解释约束满足问题的不可满足性

在约束满足问题（CSP）的研究中，解释问题的不可满足性是一个重要的课题。本文将介绍如何通过最小不可满足约束集（MUC）、最小不可满足元组集（MUST）和共享元组来更精细地解释CSP的不可满足性。

1. MUST与MUC的关系

任何不可满足的CSP至少存在一个MUC（可以是CSP本身），同时也至少存在一个MUST。因为MUC是不可满足的CSP，所以可以从CSP的任何MUC中提取出至少一个MUST。

• 命题1 ：从任何不可满足的CSP中至少可以提取出一个MUST。
  • 证明思路 ：假设一个不可满足的CSP $P = ⟨V, C⟩$ 不包含任何MUST，通过逐步允许某些禁止元组，会得到一个应该不可满足但实际上可满足的CSP $P ′ = ⟨V, ∅⟩$，这与假设矛盾，从而证明命题成立。
• 命题2 ：设 $P$ 是一个包含 $m$ 个约束的MUC，则存在至少 $m$ 个元组，允许其中任何一个元组都能使 $P$ 恢复可满足性，且这些元组属于 $P$ 的所有MUST。
  • 证明思路 ：由于 $P$ 是MUC，去掉其中任何一个约束 $c_i$ 后得到的CSP是可满足的。存在一个赋值 $A$ 满足去掉 $c_i$ 后的CSP，而 $A$ 违反 $c_i$，其在 $V ar(c_i)$ 上的投影包含在 $T (c_i)$ 中，去掉这个禁止元组足以使 $P$ 可行。对 $P$ 的所有