BZOJ3142 [Hnoi2013]数列

最新推荐文章于 2021-04-23 14:35:56 发布

neither_nor

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分类专栏： BZOJ 找规律矩阵乘法

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本文介绍了一种利用矩阵快速幂解决特定数列求值问题的方法。通过观察规律找到数列通项公式，并使用矩阵乘法加速计算过程，实现高效求解。适用于m固定的情况下，快速找出给定条件下数列的第n项。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

因为我太弱了不会推式子所以只能打表找规律加矩乘……

在m固定的情况下，以n为行以k为列打个表，发现在第i列，第一项在第(i-1)*m+1行，除了第一项以外每一项是他前一项+m^(i-1)

而第一项等于1~i-1列每一列的前m项的和

只要求出了第k列的第一项就能轻松求出第n行的值

我们设f[i]表示第i列的第一项，则f[1]=1，f[i]=m*f[i-1]+(m-1)*(m^(i-1))/2

矩乘加速一下即可

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<iomanip>
#include<vector>
#include<map>
#include<set>
#include<bitset>
#include<queue>
#include<stack>
using namespace std;
#define MAXN 1010
#define MAXM 1010
#define INF 1000000000
#define MOD 1000000007
#define eps 1e-8
#define ll long long
ll p;
struct mat{
	ll x[3][3];
	mat(){
		memset(x,0,sizeof(x));
	}
	friend mat operator *(mat x,mat y){
		int i,j,k;
		mat z;
		for(i=1;i<=2;i++){
			for(j=1;j<=2;j++){
				for(k=1;k<=2;k++){
					(z.x[i][j]+=x.x[i][k]*y.x[k][j])%=p;
				}
			}
		}
		return z;
	}
};
ll n,k,m;
mat a,b,c;
ll mi(ll x,ll y){
	ll re=1;
	while(y){
		if(y&1){
			(re*=x)%=p;
		}
		(x*=x)%=p;
		y>>=1;
	}
	return re;
}
int main(){
	scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&k,&m,&p);
	ll y=k-1;
	a.x[1][1]=1;
	a.x[1][2]=((m-1)*m/2)%p;
	b.x[1][1]=b.x[2][2]=1;
	c.x[1][1]=m%p;
	c.x[2][1]=1;
	c.x[2][2]=m%p;
	while(y){
		if(y&1){
			b=b*c;
		}
		c=c*c;
		y>>=1;
	}
	a=a*b;
	printf("%lld\n",(a.x[1][1]+(n-(k-1)*m-1)%p*mi(m,k-1))%p);
	return 0;
}

/*

*/