【小波神经网络】用小波包变换+BP神经网络诊断齿轮箱故障

0 引言

  最近朋友喊帮忙做一个仿真程序，遂接触了用小波包变换结合BP神经网络的方法来分析发电机齿轮箱故障类型，查阅了几篇文献后，觉得这种方法很是巧妙，竟然能够分析出齿轮箱发生了哪种故障。经过仔细的研究后，对该方法有了更深刻的理解，这里把文章中没有讲到的一些细节做一个简单分享。

1 小波包变换

  在分析现实工程中的故障信号时，往往采用傅里叶变换、小波变换或小波包变换来分析。小波变换被认为是傅里叶变换的一次突破，而小波包变换又是小波变换的一次提升。小波包分析能够实现对信号各频段的划分，对低频和高频信号都能分析，能显著地提高信号的分辨率。应用小波包分析信号的流程图如下图所示。

1.1 小波包分解

  小波包变换能够将信号分解为近似信号和细节信号，而在下一层分解中再次将两种信号进行进一步分解，经过 $N$ 层分解后，能够得到 $2^N$ 个频段信号，小波包分解树如下图所示。

其中顶层节点（0,0）代表原始信号，最底层的节点则代表最终分解后得到的各频段信号，并设 $X_{i,j}$ 为第 $i$ 层第 $j$ 个节点的分解系数。$i=1,2,...,n$，$j=1,2,...,2^n-1$，$n$为分解的层数。

1.2 小波包信号重构

  由1.1小节得到的 $2^N$ 个小波包分解系数 $X_{i,j}$ ，再对这些分解系数分别进行重构，进而得到重构后的信号 $S_{i,j}$ 。则原始信号就可由重构后的信号进行表示
$$S=S_{i,0}+S_{i,1}+S_{i,2}+\cdots S_{i,2^i-1}$$

1.3 求解频带能量并归一化

  得到重构信号 $S_{i,j}$ 后，可得到各个重构信号对应的频段能量值。设与 $S_{i,j}$ 相对应频段的能量为
$$E_{i,j}=\int {\left|S_{i,j}\right|}^{2}dt=\sum _{j=1}^{2^i-1}{\left|X_{i,j}\right|}^2$$根据上式可依次求得各个频段的能量值，将这些能量值组成一个向量 $T$ ，且单位化后可得到
$$\begin{gathered} E_j=\frac{E_{i,j}}{\sqrt{{\sum }_{j=0}^{2^i-1}{\left|E_{i,j}\right|}^2}} \\ \mathbf{T}=\left[E_0,E_1,E_2,...,E_{2^i-1}\right] \end{gathered}$$  通常来说，小波包分解层数一般设为3层，也就是将初始信号的频率范围划分为8个部分，再分别对各部分的信号进行重构，最终得到单位化后的特征向量 $T$ 。

1.4 利用matlab进行小波包变换

  matlab自带了小波包变换的一系列函数，包括wpdec、wpfrqord、wprcoef等，函数的具体使用可查看官方帮助文档。

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2 BP神经网络

  BP神经网络的核心算法为BP算法，它是一种按照误差逆传播训练的多层前馈网络。BP网络由输入层、隐含层、输出层组成，其是一种监督学习算法，通过给定的输入输出样本，根据误差不断调整权值进行训练，最终达到和输出数据尽量吻合的结果。由于其具有较强的并行分布式处理能力和自学习能力，在故障检测中得到了广泛的应用。BP神经网络结构如下图所示。

2.1 各层神经元个数分析

  输入层神经元个数：经过小波包分析和特征值提取的特征向量作为BP网络的输入向量，由小波包分解确定的特征值的向量维数作为BP网络的输入个数，即输入个数为 $2^N$ 个。

  隐含层神经元个数：隐含层神经元的个数可根据经验公式选择，如 $l=2m+1$，其中 $m$ 代表输入层的神经元个数。

  输出层神经元个数：输出层神经网络的输出个数为故障类型个数。例如，当需要识别的故障类型为 $n$ 个时，神经网络的输出向量则为 $\mathbf{y}={\left[y_1,y_2,...,y_n\right]}^{\mathrm{T}}$ ，向量 $\mathbf{y}$ 中最接近1的元素则对应了故障发生的类型。

  确定好神经网络的结构后，即可对神经网络进行训练，训练好后的神经网络此时具备了记忆能力和预测能力，将测试数据输入到BP神经网络中，可对故障类型进行预测，神经网络的训练流程如下图所示。

2.2 利用matlab工具箱训练神经网络

  matlab也自带了BP神经网络的工具箱，即Neural Net Fitting工具箱，利用此工具箱可设置神经网络的输入输出训练样本、神经元的个数、训练算法等，其可直接进行样本的训练，当训练样本的均方误差逐渐收敛时便自动停止迭代，此时神经网络便训练完成了，就可用来预测数据。

3 仿真分析

  为了验证本文方法在齿轮箱故障识别中的可靠性，采用matlab软件进行仿真，用实验数据和数据预测来验证该方法。结合小波包和BP神经网络的实验流程如下图所示。

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  原始数据来源于凯斯西储大学轴承数据中心，通过在电机驱动机械系统上安装一个加速度传感器来采集振动信号，采样频率为12 kHz。本次实验中，数据集A、B、C分别包含了17500个训练样本和2500个测试样本。分别采集数据集A、B、C在负载为1、2、3 hp下的样本，每种数据集均包含10种不同的故障条件。

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  利用小波包对信号进行分解以提取有效信号特征，可得到原始信号对应的特征向量。在本次研究实验中，故障类型个数为10个，用二进制状态表示BP神经网络输出向量的样本类别，“1”表示该样本类型起作用，向量 ${\left[\begin{array}{cc}1& 0_{1\times 9}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}$ 表示正常，向量 ${\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0_{1\times 8}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}$ 表示故障类型为直径0.007mm的球故障，向量 ${\left[\begin{array}{ccc}{0}_{1\times 2}& 1& 0_{1\times 7}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}$ 表示故障类型为直径0.014mm的球故障，向量 ${\left[\begin{array}{ccc}{0}_{1\times 3}& 1& 0_{1\times 6}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}$ 表示故障类型为直径0.021mm的球故障，向量 ${\left[\begin{array}{ccc}{0}_{1\times 4}& 1& 0_{1\times 5}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}$ 表示故障类型为直径0.007mm的内圈故障，依此类推。因此，神经网络输出层的个数设置为10，神经网络隐含层的神经元个数设为17，训练算法采用贝叶斯正则化训练。其中，正常工况和0.007mm的各类故障时域波形如下图所示。

  对原始数据进行分析，原始数据经小波包分解后可得到多组特征向量，将其作为神经网络的输入值，其中，80%的数据作为训练样本，20%的数据作为测试样本。训练时，最大训练次数设置为1000次，神经网络的训练结果如下图所示，其中，横坐标代表训练次数，纵坐标代表均方误差，当训练次数达到643次时，均方误差为0.01238，此时误差已经收敛至较小误差内，神经网络模型建立完成。

  任选4组样本数据作为验证样本集，将样本集数据输入到训练好后的BP神经网络中，每组样本均对应着某一个故障模型，将神经网络的实际输出结果和标准信号进行对比，比较结果如下表所示。

结论

  在分析网络的实际输出向量时，分量最大的值表明了对应的故障类型。从表2中可以看出，BP神经网络的实际输出和期望输出是比较一致的，其误差在可接受的范围内，预测准确率能达到95%以上，这说明训练好的神经网络具有很好的泛化能力，能够准确地对故障模式进行预测。
  4组案例信号的分析都对齿轮箱状态信号作出了正确地分类，与实验设置的故障状态类型保持一致。由此可得，小波包神经网络能够对齿轮箱故障类型进行预测。

参考文献

1. 王皓,周峰. 基于小波包和BP神经网络的风机齿轮箱故障诊断[J]. 噪声与振动控制,2015(2):154-159. DOI:10.3969/j.issn.1006-1335.2015.02.035.
2. 刘漫,段勇强,樊姗,等. 基于小波降噪和BP神经网络的风力发电机组 齿轮箱故障诊断研究[J]. 湖北民族学院学报（自然科学版）,2019,37(1):116-120. DOI:10.13501/j.cnki.42-1569/n.2019.03.025.
3. 刘志刚,赵晓燕,张涛,等. 基于小波包-神经网络的电厂发电机组故障诊断研究[J]. 机械传动,2018,42(8):179-182. DOI:10.16578/j.issn.1004.2539.2018.08.035.