算法学习11: BFPRT算法

本文深入探讨了BFPRT算法,一种用于寻找无序数组中第k小元素的线性时间复杂度算法。通过巧妙的选择参照数策略,避免了最坏情况下的二次时间复杂度,确保了算法的高效性。

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BFPRT算法要解决的问题

在一个无序数组中,找到第k小的数.
一般做法是将数据加入一个小根堆中,依次弹出k个数.其时间复杂度为O(N*lgN).
BFPRT算法要求空间复杂度O(1),时间复杂度O(N).

一种O(N)算法

算法步骤

  1. 先找到一个数作为参照数,对其进行荷兰国旗问题的划分: 将小于参照数的放在左边,大于参照数的放在右边,等于参照数的放在中间.
  2. 判断所求的第k位在哪个区域:
    1. 若所求的第k位位于等于区域,则直接返回
    2. 若所求的第k位位于小于区域,则对小于区域进行第一步中荷兰国旗问题的划分
    3. 若所求的第k位位于等于区域,则对大于区域进行第一步中荷兰国旗问题的划分

算法缺点:

若每次选择的参照数都是划分区域内的最大或最小值,则算法的时间复杂度退化为O(N2).
因此我们期望所选取的参照数要尽量位于划分区域的的中位数附近. BFPRT算法解决了这个问题.

BFPRT算法

算法步骤:

与上一个算法不同,BFPRT算法选择参照数的策略并不是随机的,这个策略正是BFPRT算法的精髓所在.
其目的是要使所选择的参照数接近数组的中位数. 其步骤如下:

  1. 先将数组中所有数相邻五个一组进行分组
  2. 找到所有小组中的中位数取出,组成一个新数组
  3. 对新数组重复步骤1,直到数组中只剩下一个数,取这个数作为参照数

证明:

为什么要进行这么一个奇特的方法来选择参照数?
因为我们所选取的数字是上一个数组中的中位数,这保证了总体上有接近一半的数字比我们所选取的参照数小,也有接近一半的数字比我们所选取的参照数大.

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