【网络流24题】圆桌问题

题目:

假设有来自m 个不同单位的代表参加一次国际会议。每个单位的代表数分别为ri (i =1,2,……,m)。

会议餐厅共有n 张餐桌,每张餐桌可容纳ci (i =1,2,……,n)个代表就餐。

为了使代表们充分交流,希望从同一个单位来的代表不在同一个餐桌就餐。试设计一个算法,给出满足要求的代表就餐方案。

对于给定的代表数和餐桌数以及餐桌容量,编程计算满足要求的代表就餐方案。

分析:

源点S向每个公司建一条边,容量为ri,每个公司向桌子建一条容量为1的边,保证每个公司最多只有一个人坐到同一桌子,然后从桌子向汇点T建一条容量为ci的边。
求最大流看是否是人数总和。如果是就有一组合理方案,遍历一个公司的所有边,如果已使用流量是1,那这条边指向的点就是一个员工的所在桌子。

代码:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ms(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define lson rt*2,l,(l+r)/2
#define rson rt*2+1,(l+r)/2+1,r
typedef unsigned long long ull;
typedef long long ll;
const int MAXN = 505;
const int MAXM = 100005;
const double EPS=1e-8;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int MOD = 1e9+7;
struct Edge {
	int to, next, cap, flow;
} edge[MAXM];
int tot, head[MAXN];
int Q[MAXN], cur[MAXN], dep[MAXN];
int n, m, S, T, N;
void init() {
	tot = 2;
	memset(head, -1, sizeof head);
}
void addedge(int u, int v, int w, int rw = 0) {
	edge[tot].to = v; edge[tot].cap = w; edge[tot].flow = 0;
	edge[tot].next = head[u]; head[u] = tot++;
	edge[tot].to = u; edge[tot].cap = rw; edge[tot].flow = 0;
	edge[tot].next = head[v]; head[v] = tot++;
}
bool bfs(int s, int t, int n) {
	int Front = 0, tail = 0;
	memset(dep, -1, sizeof(dep[0])*(n+1));
	dep[s] = 0;
	Q[tail++] = s;
	while (Front < tail) {
		int u = Q[Front++];
		for (int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next) {
			int v = edge[i].to;
			if (edge[i].cap > edge[i].flow && dep[v] == -1) {
				dep[v] = dep[u] + 1;
				if (v == t) return true;
				Q[tail++] = v;
			}
		}
	}
	return false;
}
int dfs(int u, int f) {
	if (u == T)	return f;
	int used = 0, rflow = 0;
	for (int i = cur[u]; i != -1; i = edge[i].next) {
		cur[u] = i;
		int v = edge[i].to, w = edge[i].cap - edge[i].flow;
		if (w > 0 && dep[v] == dep[u] + 1) {
			if ((rflow = dfs(v, min(w, f - used)))) {
				used += rflow;
				edge[i].flow += rflow;
				edge[i ^ 1].flow -= rflow;
				if (used == f)	break;
			}
		}
	}
	if (!used)	dep[u] = -1;
	return used;
}
int dinic(int s, int t, int n) {
	int maxflow = 0;
	while (bfs(s, t, n)) {
		for (int i = 0; i <= n; i++)	cur[i] = head[i];
		maxflow += dfs(s, INF);
	}
	return maxflow;
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	// freopen("1.txt","r",stdin);
	cin >> m >> n;
	init();
	S = n + m + 1, T = n + m + 2, N = n + m + 2;
	int sum = 0;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int x;	cin >> x;
		sum += x;
		addedge(S,i,x);
		for(int j=1;j<=n;j++){
			addedge(i,m+j,1);
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int x;	cin >> x;
		addedge(m+i,T,x);
	}
	int maxflow = dinic(S,T,N);
	if(maxflow == sum){
		cout << "1\n";
		for(int i=1;i<=m;i++){
			for(int k=head[i];k!=-1;k=edge[k].next){
				if(edge[k].to != S && edge[k].flow == 1){
					cout << edge[k].to - m  << " ";
				}
			}
			cout << endl;
		}
	}else{
		cout << "0\n";
	}
	return 0;
}
### 构造用于解决圆桌问题的流网络 在处理圆桌问题时,通过构建特定结构的流网络并应用最大流算法来寻找解决方案是一种有效的方法。具体来说: 对于给定的人数以及座位安排条件,在构造流网络时需要引入虚拟源点 \(s\) 和汇点 \(t\) 来表示人员分配情况下的起点和终点。每个人作为节点加入到该图中,并且每张桌子同样被视作一个独立节点。 为了确保每个人都能够恰好坐在一张桌子上而不违反任何约束条件(比如性别交替),可以按照如下方式建立连接关系[^1]: - **个人至桌子之间的边**:如果某位成员可以选择坐于某个位置,则在这两者间创建一条由前者指向后者的边,其容量设为1,意味着此位置仅能容纳一人就座。 - **桌子内部循环链路**:为了让同一桌上不同席次之间形成闭合路径从而实现轮流而坐的效果,可以在相邻两个座位对应的节点间设置双向边,它们各自拥有单位容量。这有助于模拟实际场景下人们围绕餐桌按顺序排列的情形。 - **特殊链接**:依据实际情况可能还需要额外添加一些特殊的边以辅助计算过程中的流量平衡调整。例如,当涉及到多轮次会议或是存在某些特别规定时,可以通过增加适当权重或方向性的边来进行适应性修改[^3]。 最后一步是确认整个系统的合法性——即检查所得到的最大流值是否正好匹配参与人数总数。只有在这种情况下才能说明找到了一种合理的座位分布方案;反之则表明当前设定条件下无法达成目标配置。 ```python from collections import defaultdict def add_edge(graph, u, v, capacity): graph[u].append((v, len(graph[v]), capacity)) graph[v].append((u, len(graph[u]) - 1, 0)) # reverse edge with zero capacity initially def max_flow_bfs(graph, source, sink): n = len(graph) flow = [0] * n parent = [-1] * n while True: visited = [False] * n queue = [(source, float('inf'))] for (node, path_flow) in queue: if not visited[node]: visited[node] = True if node == sink: break for i, (_, rev_idx, cap) in enumerate(graph[node]): next_node = _[0] if cap > 0 and not visited[next_node]: queue.append((next_node, min(path_flow, cap))) parent[next_node] = (node, i) if not visited[sink]: return sum(flow), graph increment = queue[-1][1] v = sink while v != source: u, idx = parent[v] _, rev_idx, _ = graph[u][idx] graph[u][idx] = (graph[u][idx][0], graph[u][idx][1], graph[u][idx][2] - increment) graph[v][rev_idx] = (graph[v][rev_idx][0], graph[v][rev_idx][1], graph[v][rev_idx][2] + increment) v = u flow[sink] += increment ```
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