线性代数的本质 - 06 - 逆矩阵、列空间与零空间

线性方程组、逆矩阵

矩阵是解线性方程组很好的工具。

线性方程组长这个样子：

• 未知量放在左边
• 常数项放右边
• 未知量竖直对齐
• 必要时补0

我们就可以将一个线性方程组写成这样

同样，我们可以从几何的角度解释这个方程，$A\vec x = \vec v$意味着寻找一个向量$\vec x$使得$\vec x$在经过线性变换$A$后和$\vec v$重合。

解这个方程依赖于矩阵$A$所代表的变换是将空间降维了还是维度不变。所以分两种情况

• $det(A) \neq 0$ 此时，有且仅有一个向量是经过$A$变换后和$\vec v$重合，所以让$\vec v$怎么变来的就怎么原路变回去。逆向变回去的过程，实际上对应了另一个线性变换，被称作$A^{-1}$。一旦找到了$A^{-1}$，那么就可以得到$\vec x = A^{-1}\vec v$。
  • $det(A) = 0$ 此时，变换$A$将空间压缩到了更低的维度，此时没有$A^{-1}$，就像不能将一条线“解压缩”为一个平面。如果是齐次方程组，则一定有无数组解。如果是非齐次，则有可能无解也有可能无穷多解。

  秩

  如果一个变换$A$将空间压缩到了一条线上，那么就说$A$的秩是1。如果压缩成一个平面，就是2。 所以，”秩“代表着变换后空间的维数。

  比如对于$2\times 2$的矩阵，秩最大就是2，意味着基向量仍旧能张成整个二维空间。但对于$3 \times 3$矩阵，秩为2意味着空间被压缩了。

  列空间

  一个矩阵的列空间就是这个矩阵所有的变换结果的集合，无论是维度不变还是被压缩成一个面、一个直线等。之所以叫列空间，其实就是变换后的基向量所张成的空间，而基向量就是矩阵的列。

  所以秩的更精确的定义是列空间的维数。当秩达到最大时，意味着秩与列数相等，称为满秩。

  零向量一定包含在列空间中，因为线性变换必须保持原点位置不变。对于一个满秩变换来说，唯一能在变换后落在原点的就是零向量。对于一个非满秩矩阵来说，它将空间压缩到一个更低的维度上，会有一系列向量压缩到原点。

  零空间

  变换后落在原点的向量的集合，这个集合被称为所选矩阵的”零空间“或”核“。变换后一些向量落在原点，从这个意义讲”零空间“就是这些向量构成的空间。

  对线性方程组来说，当$\vec v$恰好是零向量，即$A\vec x=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}\right]$时，零空间给出的就是这个向量方程的所有可能解。

  非方阵

  我们之前说的矩阵，都是方阵，比如用$2 \times 2$矩阵表示二维向量到二维向量的变换。但是如果是个非方阵，那它的几何意义又是什么呢？

  比如一个二维向量到一个三维向量的变换。

  

  这个矩阵表示将一个二维向量变换到三维。矩阵有两列，说明原向量有两个基向量；有三行，说明每一个基向量在变换后都用三个独立的坐标来描述。这个矩阵的列空间是三维空间中一个过原点的二维平面。但是这个矩阵仍然是满秩的，因为列空间的维数与输入空间的维数相等。