整数划分问题

将 $n$ 划分成若干正整数和

思路一：

用 $f[i][j]$ 表示将 $i$ 分成 $j$ 个数字的方案数。将 $i$ 的划分按“含不含 $1$” 来分成两部分。

• 很容易可以想到，在 $i - 1$的所有划分上添加个 $1$，就得到了 $i$ 含 $1$ 的划分。

所以，方程为：$f[i][j] = f[i-1][j-1] + f[i-j][j]$

这样$f[n][1] + f[n][2] + f[n][3] + ...+f[n][n]$，就是将 $n$ 划分成若干正整数和的方案数。

思路二：

用 $f[j][j]$ 表示将 $i$ 分为每个数不大于 $j$ 的划分。这次，我们以“含不含 $j$ ”作为划分依据。

• 若划分中每个数都小于 $j$ ，划分数为 $f[i][j-1]$。

• 若划分中有数字等于 $j$，就把这个 $j$ 去掉，$i - j$ 的每个划分上再加上这个 $j$就是 $i$的划分，$i - j$ 的划分数就是此时 $i$ 的划分数。注意，最大值 $j$ 可能不止一个，此时的 $i-j$的划分中有可能还有 $j$。所以，划分为 $f[i-j][j]$。

所以，方程为：$f[i][j] = f[i][j-1] + f[i-j][j]$。$f[n][n]$ 即为所求。

将 $n$ 划分成不同正整数和

和上一问题的思路二极为相似。
用 $f[j][j]$ 表示将 $i$ 分为每个数不大于 $j$ 的划分。这次，我们以“含不含 $j$ ”作为划分依据。

• 若划分中每个数都小于 $j$ ，划分数为 $f[i][j-1]$。
  • 若划分中有数字等于 $j$，就把这个 $j$ 去掉，$i - j$ 的每个划分上再加上这个 $j$就是 $i$的划分，$i - j$ 的划分数就是此时 $i$ 的划分数。注意，因为此时剩下的 $i-j$ 的划分中不能再出现 $j$，最大只能是 $j-1$，因为每个数只能出现一次。所以，划分为 $f[i-j][j-1]$。

  所以，方程为：$f[i][j] = f[i][j-1] + f[i-j][j-1]$。$f[n][n]$ 即为所求。