【优选算法必刷100题】第031~32题（前缀和算法）：连续数组、矩阵区域和 ​。

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【图论 拓扑排序 贪心 临项交换】P5603 小 C 与桌游 题解|普及+ 这个桌游的地图可以被抽象成一个 $n$ 个点，$m$ 条边的**有向无环图**（**不保证连通**），小 C 在这个地图上行走，小 C 能走到某个点当且仅当能够到达这个点的所有点都已经被小 C 走到。小 C 会走到每个点恰好 $1$ 次，并且他能走到哪些点与他当前所在的点没有关系（即可以走到与当前所在的点没有连边的点，只要满足之前的条件）。小 C 每走到一个标号比之前走到的点都大的点，他就会有 $\frac{1}{2}$ 的概率从对手那里拿到 $1$ 块筹码，有 $\frac{1}{2}$ 的概率给对手

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数据结构与算法 - 分治vs动态规划：都用递归，核心差异在哪 📌 摘要 本文深入解析了分治法与动态规划的核心差异：虽然两者都使用递归，但分治法处理独立子问题（如归并排序），每个子问题仅计算一次；而动态规划处理重叠子问题（如斐波那契数列），通过记忆化存储避免重复计算。关键区别在于： 分治法子问题无重叠，时间复杂度通常较高（如归并排序O(n log n)） 动态规划通过复用子问题解显著提升效率（如斐波那契从O(2ⁿ)优化到O(n)） 文中通过Java代码示例和Mermaid图表直观对比两种范式，帮助开发者理解何时该选用哪种算法策略。掌握这一差异对优化代码性能至关重要。

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ThreadLocal 深度解析：它解决了什么、原理是什么、如何正确使用（含代码与实战建议） 本文从问题出发，全面解析 Java 的 ThreadLocal：它为每个线程维护独立变量副本，解决线程间共享冲突与跨层传递上下文的需求。深入讲解 ThreadLocal 的内部实现（ThreadLocalMap、弱引用 key）、InheritableThreadLocal 的复制行为、以及常见导致内存泄漏的场景与根本原因。基于实现细节，文章给出清晰且可执行的最佳实践（withInitial、try-finally 中 remove()、线程池上下文传递策略等）并通过示例代码说明如何安全高效地使用 Thre

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背包dp——动态规划 本文介绍了背包类动态规划问题的基本概念和分类，重点分析了0-1背包问题的解法。背包问题源于资源分配场景，要求在有限容量下选择物品以获得最大价值。根据物品数量限制，背包问题可分为0-1背包、有界背包和无界背包三类。文章通过模板题详细讲解了0-1背包的两种变体：背包不必装满和必须装满的情况，分别给出了状态转移方程、初始化方法和填表顺序。最后提供了C++代码实现，并探讨了空间优化策略，包括滚动数组和单数组逆向填表两种优化方法。

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[已更新完毕]2025亚太杯A题亚太赛A题 APMCM大学生数学建模详细教学分析 本研究以 G1 类人机器人为对象，围绕题目给定的舞台表演任务，分别从运动学建模、轨迹规划、关节逆运动学求解、稳定性分析以及全程能耗优化等方面建立数学模型，并给出数值仿真验证。模型在几何上严谨、在仿真中稳定、在能耗上具有可解释性，所提出的优化策略具有工程实际意义，为未来类人机器人运动规划、能耗管理和舞台编舞提供了可行思路。进一步依据说明书中常见的肩关节角度与角速度限制，对抬手动作进行电机安全性分析，结果显示：在合理的时间规划下，肩关节角度与角速度皆满足要求，动作安全可实现。

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2025APMCM亚太杯数学建模A题思路分享 在求解具体动作之前，必须明确 Unitree G1 的关键物理约束，这些参数直接构成了我们数学模型的可行解空间：针对问题 1 中描述的动作——“左手向前伸展抬起，与身体成 60∘60^\circ60∘ 角，同时向左旋转 30∘30^\circ30∘”，我们需要建立精确的笛卡尔坐标系进行描述。根据题目设定，以机器人肩部关节中心为原点 O(0,0,0)O(0,0,0)O(0,0,0)，建立如下右手坐标系：考虑到动作描述为复合旋转，我们采用球坐标系（Spherical Coordinate System）建模最为

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从混沌到秩序：BMAD方法的数学魔法之旅 想象一下，你正在指挥一支由数百只蜜蜂组成的蜂群。每只蜜蜂都有自己的“个性”——它们飞行的速度、路径和目标各不相同，但整个蜂群却能协调一致，找到最甜美的花朵。BMAD方法（Balanced Multi-Agent Dynamics）就像是这位聪明的蜂王，负责协调一群“智能体”（可以是算法、机器人，甚至是金融交易模型），让它们在复杂环境中实现动态平衡，共同完成任务。BMAD方法是一种多智能体优化框架，旨在通过分布式计算和动态协调，解决高维、非线性或动态变化的复杂系统问题。

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动态规划详解——一步一步教你理解和上手 就是要找到用哪些变量能描述“到某一步”的情况，比如“爬到第 i 级台阶时有多少走法”。这一步很关键，定义得好，后面才能顺利。用dp[i][w]表示前i个物品，在容量为w的背包中能获得的最大价值。动态规划的核心在于分阶段决策和高效解决重叠子问题。要实现高效的动态规划代码，需理解状态定义、状态转移方程和边界条件。其本质是拆解问题、存储结果、逐步决策有重叠子问题、能够逐步决策、最优解由子问题最优解组成。

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计算机图形中的法线矩阵：深入理解与应用 法线矩阵是计算机图形学中用于将法线从模型空间转换到切线或视图空间的关键工具，确保光照计算的正确性。其定义为模型变换矩阵的转置逆矩阵（(\mathbf{N} = (\mathbf{M}^T)^{-1})），需针对均匀/非均匀缩放调整计算方式。法线矩阵在顶点着色器中用于空间转换，并广泛应用于PBR渲染的切线空间变换。优化建议包括预计算和避免重复计算，同时需注意非均匀缩放和数值稳定性问题。深入理解法线矩阵对实现精确光照和材质渲染至关重要。

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LeetCode HOT100刷题笔记（十六）：多维动态规划 ps：笔记和代码按本人理解整理，重思路

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