二项树（binomial tree）

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一，二项树（binomial tree）

二，二项树的母函数

三，二项树的节点数

一，二项树（binomial tree）

二项树是一组固定的递归定义的树：

B0是一个单节点的树，

Bn是一棵n叉树，根节点有n个孩子，分别是B0，B1......B n-1

 

二，二项树的母函数

对于Bn，它的深度为n，我们定义它的母函数：

T_n\left ( x \right )=\sum _{i=0}^n s_i x^i  , 其中si是第i层的节点数目

根据二项树的定义，我们可以得到母函数的递推式：T_n\left ( x \right )=1+x \left ( T_0\left ( x \right )+T_1\left ( x \right ) +...+T_{n-1}\left ( x \right ) \right )

根据此递推式，可以求出来，T_n\left ( x \right )=\left ( 1+x \right )^n

所以，二项树Tn的母函数是二项式(1+x)^n

 

三，二项树的节点数

二项树的第i层的节点数是二项式系数C(n, i)

二项树的节点总数是2^n

csuzhucong
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