数据结构与算法（树）

引言： 因为最近准备期末，所以进度有些慢。现在我们就进入数据结构与算法——树的学习，主要是二叉树的学习。

一.树的定义

定义：树是n（n>=0）个节点的有限集合。n=0时称为空树。在任意一个非空树中：
（1）：有且仅有一个特定的根节点；
（2）：当n>1时，其余节点可为m（m>0）个互不相交的有限集，称为子树。
——借鉴与《大话数据结构》

二.二叉树

1.二叉树的定义

定义：二叉树是n（n>=0）个节点的有限集合，该集合或者为空集，或者有一个根节点和两棵互不相交的左右子树组成。

2.二叉树的基本形态

一共有五种：
（1）空二叉树
（2）只有一个根节点
（3）根节点只有左子树
（4）根节点只有右子树
（5）根节点既有左子树又有右子树

3.特殊二叉树

（1）斜树：只有左子树或者右子树。
（2）满二叉树：在一棵二叉树中，如果所有节点都存在左子树与右子树，并且所有叶子结点都在同一层上，为满二叉树。
（3）完全二叉树：对一棵树按层编号，如果编号为i的节点与同样深度的满二叉树中编号为i的节点在二叉树中位置完全相同，则为完全二叉树。
——见与《大话数据结构》

4.二叉树的性质

性质一：在二叉树的第i层至多有2^（i-1）个节点。
性质二：深度为K的二叉树至多有2^k-1个节点。
性质三：对于任意一棵二叉树T,如果其终端节点数为N0，度为2的节点数为N2,则N0=N2+1.
性质四：具有n个结点的二叉树，深度为不大于(logn/log2)的最大整数 + 1。
性质五：有n个结点的完全二叉树，从上往下从左往右编号为i,则不大于i/2的最大整数位该结点的双亲结点，2i为该结点的左孩子结点，2i+1位该结点的右孩子节点。

三.二叉树的创建与遍历

定义式

struct Tree
{
	char data;//数据域
	struct Tree *rchild,*lchild;//左右孩子指针
};

在二叉树中有四种遍历方式，分别是前序遍历，中序遍历，后序遍历，层次遍历。这里给出前三种。
前序遍历：

void front(struct Tree* &q)
{
	if(q)
	{
		cout<<q->data;
		front(q->lchild);
		front(q->rchild);
	}
}

中序遍历：

void middle(struct Tree* &q)
{
	if(q)
	{
		middle(q->lchild);
		cout<<q->data;
		middle(q->rchild);
	}
}

后序遍历：

void end(struct Tree* &q)
{
	if(q)
	{
		end(q->lchild);
		end(q->rchild);
		cout<<q->data;
	}
}

创立二叉树

void creat(struct Tree* &p)
{
	char s;
	cin>>s;
	if(s=='#')
		p=NULL;
	else
	{
		p=new(struct Tree);
		p->data=s;
		creat(p->lchild);
		creat(p->rchild);
	}
}

完整代码

#include <iostream>
using namespace std;
struct Tree
{
	char data;
	struct Tree *rchild,*lchild;
};
void creat(struct Tree* &p)
{
	char s;
	cin>>s;
	if(s=='#')
		p=NULL;
	else
	{
		p=new(struct Tree);
		p->data=s;
		creat(p->lchild);
		creat(p->rchild);
	}
}
void front(struct Tree* &q)
{
	if(q)
	{
		cout<<q->data;
		front(q->lchild);		
		front(q->rchild);
	}
}
void middle(struct Tree* &q)
{
	if(q)
	{
		middle(q->lchild);
		cout<<q->data;
		middle(q->rchild);
	}
}
void end(struct Tree* &q)
{
	if(q)
	{
		end(q->lchild);
		end(q->rchild);
		cout<<q->data;
	}
}
int main()
{
	struct Tree *tree;
	creat(tree);//创建二叉树 
	front(tree);//前序遍历 
	cout<<endl; 
	middle(tree);//中序遍历 
	cout<<endl;
	end(tree);//后序遍历 
	return 0;
}

四.后记

树的知识是非常丰富的，比如森林与树的关系等等。但是我们应该先了解树的基本操作，在进行下一步的学习。下一次将是数据结构与算法——图的学习。