2017 Multi-University Training Contest 7 && HDU 6121 Build a tree 【思维】

最新推荐文章于 2020-07-24 15:02:29 发布

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探讨如何高效计算完全k叉树中每个节点作为根的子树节点数量的异或值，通过递归和预处理策略实现算法优化。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Build a tree

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit:524288/524288 K (Java/Others)
Total Submission(s): 320 Accepted Submission(s): 95

Problem Description

HazelFan wants to build a rooted tree. The tree hasn nodes labeled 0 ton−1, and the father of the node labeledi is the node labeled ⌊(i−1)/k⌋. HazelFan wonders the size of every subtree, and you just need to tell him the XOR value of these answers.

Input

The first line contains a positive integer T(1≤T≤5), denoting thenumber of test cases.
For each test case:
A single line contains two positive integers n,k(1≤n,k≤10¹⁸1018).

Output

For each test case:
A single line contains a nonnegative integer, denoting the answer.

Sample Input

5 2

5 3

Sample Output

【题意】

有一棵n个节点的完全k叉树，求其所有子树(包括根节点)节点数量(包括节点本身)的异或值。

【思路】

容易发现，考虑根的所有孩子，最多只有一个不是满k叉树，我们只要把这个子节点作为临界点，其左边的就是满k叉树，其右边的便是比左边层数小一的满k叉树，那么我们每次只要算出中间这个非满k叉树的节点个数即可，然后对这个孩子进行递归处理。

而其他子树由于是满k叉树，其数量可以提前预处理出来。

PS：k等于1时，树退化为链状，需要特判(暴力打表找规律)，否则时间效率低下，会TLE。

具体细节见代码。

#include <cstdio>
#include <string>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int maxn = 105;

ll n,k;
ll num[maxn];

ll power(ll a, ll n)
{
    ll ans=1;
    while(n)
    {
        if(n&1) ans*=a;
        a*=a;
        n>>=1;
    }
    return ans;
}

void init(ll k,ll depth)       //预处理出完全k叉树前i层节点个数和
{
    for(int i=1;i<=depth;i++)
    {
        num[i]=(power(k,i)-1)/(k-1);
    }
}

int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        ll ans;
        scanf("%I64d%I64d",&n,&k);
        if(k==1)                  //特判
        {
            ll temp=n%4;
            if(temp==0)
            {
                ans=n;
            }
            else if(temp==1) ans=1;
            else if(temp==2) ans=n+1;
            else ans=0;
            printf("%I64d\n",ans);
            continue;
        }
        int depth=1;             //求出树的高度
        ll res=n-1;
        while(res>0)
        {
            res=(res-1)/k;
            depth++;
        }
        init(k,depth);
        ans=n;                   //根节点为0的子树
        ans^=(n-num[depth-1])&1; //最后一层有几个节点，就异或几个1.
        depth--;
        ll pos=(n-1-1)/k;        //临界点在当前层第pos棵子树上
        int now=2;               //当前是从下往上第几层
        while(depth>1)           //depth等于1，即变为以0为根节点的子树时，结束递归
        {
            ll left=num[depth-1]; //当前层最左边节点的编号
            ll right=num[depth]-1; //当前层最右边节点的编号
            ll temp1=num[now];    //当前层满k叉树子树节点个数
            ll temp2=num[now-1];  //当前层满k叉树层数减1后子树节点个数
            if((pos-left)&1)      //临界点左边满k叉树的个数为奇数，那么结果异或上节点个数，否则异或相互抵消，不计
            {
                ans^=temp1;
            }
            if((right-pos)&1)     //同理
            {
                ans^=temp2;
            }
            ll cnt=pos;
            while(cnt<=(n-1-1)/k)  //由于cnt*k+1<=n-1,左边会爆long long,故转化为除法。
            {
                cnt=cnt*k+1;
            }
            ans^=num[now-1]+n-cnt;  //临界点的子树特殊处理
            now++;
            depth--;
            pos=(pos-1)/k;
        }
        printf("%I64d\n",ans);
    }
    return 0;
}