1.C子空间

子空间

如果 $V$的子集 $U$也是向量空间，则成 $U$ 是$V$ 的子空间

子空间的条件

加法单位元
    $0 \in U$
加法的封闭性
    $\forall u,v \in U; u + v \in U$
标量乘法的封闭性
    $\forall a \in F; \forall u \in U; au \in U$

子空间的和

定义
已知 $U_1,U_2,...,U_m \subset V$ 的子空间，则 $U_1,U_2,...,U_m$ 的和定义为 $U_1,U_2,...,U_m$ 中元素所有可能的和所构成的集合，记为
$U_1+U_2+...+U_m =\left \{ u_1+u_2+...+u_m:u_1 \in U_1,...,u_m \in U_m \right \}$

它是 $V$ 包含 $U_1,U_2,...,U_m$ 最小子空间

直和

已知 $U_1,U_2,...,U_m \subset V$ 的子空间，$U_1+U_2+...+U_m$ 中的每个元素都可以唯一的表示成$u_1+u_2+...+u_m;u_i \in U_i (i=1,2,...,m)$ 记作 $U_1\bigoplus U_2\bigoplus...\bigoplus U_m$

直和的条件

当且仅当0表示成 $u_1+ u_2+...+ u_m$ 的唯一方式是 $u_i = 0(i=1,2,...,m)$

两个子空间的直和

设 $U$ 和 $W$ 是 $V$ 的子空间，则 $u + w$是直和当且仅当 $U\cap W=\{0\}$

上一节：1.B向量空间的定义