【离散数学】数理逻辑 第一章 命题逻辑(2) 命题公式及其符号化、命题公式的赋值

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• （国外经典教材）离散数学及其应用 第七版 Discrete Mathematics and Its Applications 7th ，作者是 Kenneth H.Rosen ，袁崇义译，机械工业出版社
• 离散数学 第二版，武波等编著，西安电子科技大学出版社，2006年
• 离散数学 第三版，方世昌等编著，西安电子科技大学出版社，2013年
• （经典参考书及其题解）离散数学/离散数学——理论•分析•题解，左孝凌、李为鉴、刘永才编著，上海科学技术文献出版社
• 离散数学习题集：数理逻辑与集合论分册，耿素云；图论分册，耿素云；抽象代数分册， 张立昂。北京大学出版社

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2. 命题公式

2.1 命题公式及其符号化（难点）

命题常元 Propositional constant ，表示一个确定命题（真值不是 $T$ 就是 $F$）的标识符，一般为 $T$ 或 $F$ 。命题变元 Propositional variable ，表示一个不确定或可泛指任意命题的、以“真，假”为其变域的标识符，即真值未确定（但真值唯一）的命题的标识符，表示为 $A,B,C$ 。在此基础上，原子公式指的是单个命题变元或命题常元。

命题公式的递归定义如下：

• （1）基础：单个原子公式是命题公式。
• （2）归纳：如果 $A$ 和 $B$ 是命题公式，则 $(\neg A),(A\wedge B),(A\vee B),(A\to B),(A\iff B)$ 是命题公式。
• （3）极小性：只有有限步应用条款（1）和（2）生成的长度有限的符号串才是命题公式。

这种定义叫归纳定义或递归定义。由这种定义产生的公式叫命题公式或合式公式 Well formed formula 。若 $B$ 是命题公式 $A$ 的一个连续段，并且 $B$ 也是命题公式，则称 $B$ 是 $A$ 的一个子公式。

例1：(a) 说明 $(P\to (P\vee Q))$ 是命题公式。
解：

• (i) P是命题公式，根据条款（1）
• (ii) Q是命题公式，根据条款（2）
• (iii) $(P\vee Q)$ 是命题公式，根据(i)(ii)和条款（2）
• (iv) $(P\to (P\vee Q))$ 是命题公式，根据(i)(iii)和条款（2）

(b) $\wedge Q$、$(P\to Q$、$P\to \wedge Q$、$((PQ)\wedge R)$ 都不是命题公式, 因为它们不能由形成规则得出。

注意，并非由命题常元/变元、联结词和一些括号组成的字符串都能成为命题公式！

例2. 符号化下列命题：
① 若天不下雨也不下雪，则我去学校。
解：$P$：天下雨；$Q$：天下雪；$R$：我去学校。于是命题公式是，$(\neg P\wedge \neg Q)\to R$。

翻译时约定：运算符结合力的强弱顺序为 ：$\neg$、$\wedge$、$\vee$、$\to$、$\iff$ ，凡符合此顺序的，括号均可省去。相同的运算符，按从左至右次序计算时，括号可省去。最外层的圆括号可以省去。

② 林芬和林芳是姐妹。
解：$P$：林芬和林芳是姐妹。这是一个原子命题。

③ 除非你掌握情况，否则你不能作出科学判断。
解：$P$：你掌握情况；$Q$：作出科学判断。于是命题公式为，$\neg P\to \neg Q$ 或其逆否命题 $Q\to P$ 。

④ 说离散数学枯燥无味或毫无价值，那是不对的。
解：$P$：离散数学是枯燥无味的；$Q$：离散数学是毫无价值的。于是命题公式为，$\neg (P\vee Q)$ 。

2.2 命题公式的赋值 assign

命题公式的真值往往取决于所含命题变元的真值。设 $p_1,p_2,\dots ,p_n$ 是命题公式 $A$ 中出现的所有命题变元，如果给 $p_1,p_2,\dots ,p_n$ 指定一组真值，则称为对命题公式 $A$ 赋值/指派/解释。

显而易见，对于含有 $n$ 个命题变元的命题公式 $A(P_1,P_2,\dots ,P_n)$ ，由于每个命题变元可以有 $T,F$ 两个不同赋值，因此共有 $2^n$ 种不同的赋值。

为观察命题公式在不同赋值下的真值情况，将命题公式 $A(P_1,P_2,\dots ,P_n)$ 的所有可能赋值和对应真值形成的各种情况列举出来，就是命题公式的真值表。不过真值表有以下约定：

• 将公式中出现的 $n$ 个命题变元，按照字典升序或降序排列；
• 对于 $2^n$ 个不同赋值，按照对应的 $n$ 位二进制数从小到大或从大到小的顺序排列；
• 若公式较复杂，可从里到外先列出各个子公式的真值，最后列出所求公式的真值。

从真值表的各种情况发现，可以将命题公式分为三类：重言式、矛盾式、偶然式：

• 给定一个命题公式，如果在任何赋值下，它的真值都为 $T$ ，则称该命题公式为重言式 tautology 或永真式；如 $\neg P\vee P$
• 给定一个命题公式，如果在任何赋值下，它的真值都为 $F$ ，则称该命题公式为矛盾式 contradiction 或永假式；如 $\neg P\wedge P$
• 给定一个命题公式，如果它既不是永真式，也不是永假式，则称该命题公式为偶然式 contingency ；如 $P\vee Q$
• 对一个命题公式 $A$ ，如果至少存在一种赋值，使得 $A$ 的真值为 $T$ ，则称 $A$ 为可满足的 satisfiable 。
• 对一个命题公式 $A$ ，如果至少存在一种赋值，使得 $A$ 的真值为 $F$ ，则称 $A$ 为非永真。

从而有以下推论：

• 重言式和偶然式都是可满足式；如果一个命题不是可满足式，则它是矛盾式。
• 如果命题公式 $A$ 为重言式，则 $\neg A$ 为矛盾式。反之亦然。
• 如果命题公式 $A,B$ 均为重言式，则 $(A\wedge B)$、$(A\vee B)$、$(A\to B)$、$(A\leftrightarrow B)$ 都是重言式。

关于可满足式，还有一个有趣的问题：SAT，即判断一个命题公式是否为一个可满足式。关于SAT问题的介绍和2-SAT问题的解法，见[这篇文章]。