本文介绍了统计决策的基本概念，包括状态集、行动集和损失函数，探讨了常用的损失函数如线性、平方、0-1函数，以及决策准则如最小最大风险和贝叶斯决策。文章强调了样本信息和先验信息在决策过程中的作用，并引用了《应用数理统计》一书作为参考。
20 世纪 40 年代，瓦尔德首次把损失函数引入到决策论中，提出并建立起统计决策理论，这一理论的某些观点对统计学的发展产生了一定的影响。
统计决策的基本概念
一个决策问题是由三个基本要素组成：状态集、行动集和损失函数。如果以 θ \theta θ 表示决策问题中的未知量，那么其所有可能状态的集合就是状态集 Θ = { θ } \Theta=\{\theta\} Θ={ θ}。行动集 A = { a } \mathcal{A}=\{a\} A={ a} 表示决策者可能采取的行动的全体。
一般而言，决策者在作决策时都会考虑后果。用以描述决策后果的函数形式有多种，例如，收益函数 Q ( θ , a ) Q(\theta,a) Q(θ,a) 描述当未知量处于状态 θ \theta θ 而决策者采取行动 a a a 时所产生的收益。当 Θ , A \Theta,\mathcal{A} Θ,A 都是有限集时，收益函数可用矩阵来表示，此时称其为收益矩阵。
在决策问题中，描述决策后果除了用收益函数外，还有亏损函数、支付函数、成本函数等概念。为了统一和规范，在统计决策中可以把上数概念纳入损失函数这一概念。损失函数 L ( θ , a ) L(\theta,a) L(θ,a) 描述当未知量处于状态 θ \theta θ 而决策者采取行动 a a a 时所引起的损失。
统计决策中所说的损失可理解为“该赚而没有赚到的钱”，“不该亏而亏损的钱”或者“不该支付而支付的钱”。例如，某商店本可赚 3000 元，由于决策失误而亏了 1000 元，则就认为该商店损失了 4000 元。
如在决策问题中原先采用的是收益函数 Q ( θ , a ) Q(\theta,a) Q(θ,a)，假如当未知量处于状态 θ \theta θ 时的最大收益为 max a ∈ A Q ( θ , a ) \max_{a\in \mathcal{A}}Q(\theta,a) maxa∈AQ(θ,a)，则采取行动 a a a 的损失可定义为
L ( θ , a ) = max a ∈ A Q ( θ , a ) − Q ( θ , a ) L(\theta,a)=\max_{a\in \mathcal{A}}Q(\theta,a)-Q(\theta,a) L(θ,a)=a∈AmaxQ(θ,a)−Q(θ,a)
在统计决策论中总是假定损失函数为非负函数。也就是认为，采取任何决策都会有损失，最理想的情形是损失为零。
为了更好地做出决策，还需设法获取各种有用的信息。依统计决策论的观点，对决策有用的信息有以下两类：
- 一是先验信息，即，人们在过去对未知量 θ \theta θ 的各种状态所获得的信息。
- 二是样本信息，即，通过适当的抽样调查，从抽取的样本中获得未知量 θ \theta θ 的最新信息。
大多数决策问题都要用到样本信息。如果一个决策问题中没有样本信息，那么这样的决策问题称为无数据（无样本信息）决策问题。如果一个决策问题中利用了有关的样本信息，那么这样的决策问题称为统计决策问题。如果一个决策问题中即利用了样本信息还利用了先验信息，那么这样的决策问题称为贝叶斯决策问题。
常用的损失函数
线性损失函数：
L ( θ , a ) = { K 0 ( θ − a ) , a ⩽ θ K 1 ( a − θ ) , a > θ L(\theta,a)=\begin{cases}K_0\left(\theta-a\right),a\leqslant\theta\\K_1\left(a-\theta\right),a>\theta\end{cases} L(θ,a)={
K0(
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