高数重点知识点【梯度】

最新推荐文章于 2024-07-01 23:42:54 发布
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#深度学习 #人工智能

文章介绍了方向导数的概念，特别是偏导数，以及如何寻找函数在某点沿哪个方向的方向导数最大，即梯度。梯度指向了函数增长最快的方向，是理解和应用多元函数微分学的关键概念。

梯度

参考资源：https://www.bilibili.com/video/BV1uZ4y1L7bB/?spm_id_from=333.337.search-card.all.click&vd_source=de55588165743d85bbfd39eae0d9c152

1、方向导数

偏导数

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①定义

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②计算

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③例题

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2、梯度

​ 在一个数量场中，函数在给定点处沿不同的方向，其方向导数一般是不相同的，现在我们所关心的是沿哪一个方向其方向导数最大？最大值是多少？函数在点P沿哪一方向增加的速度最快？为此引进一个很重要的概念一一梯度

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梯度的本意是一个向量（矢量），表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着该方向（此梯度的方向）变化最快，变化率最大（为该梯度的模）。 梯度 函数：z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y) 在平面域内具有连续的一阶偏导数，对于其中每一个点 P(x,y)P(x,y)P(x,y)都有向量 ，则其称为函数在点P的梯度。 只有当 ，才有最大值。 函数在某点的梯度是一个向量，它的方向与方向导数最大值取得的方向一致。 其大小正好是最大的方向导数 例 $设u=xyz+z^2+5，.
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算梯度 f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h=lim⁡h→0f(x)−f(x−h)hf'(x)=\lim \limits _{h\rightarrow0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim \limits _{h\rightarrow0} \frac{f(x)-f(x-h)}{h}f′(x)=h→0lim​hf(x+h)−f(x)​=h→0lim​hf(x)−f(x−h)​为数学上的方法，那么我们对于向量[x1,x2,…,xn][x_1, x_2, \dots,x_n][x
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