01背包

01背包问题总结

 一 问题描述：
     有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
    所谓01背包，表示每一个物品只有一个，要么装入，要么不装入。

二 解决方案：
   考虑使用dp问题 求解，定义一个递归式 opt[i][v] 表示前i个物品，在背包容量大小为v的情况下，最大的装载量。
     opt[i][v] = max(opt[i-1][v] , opt[i-1][v-c[i]] + w[i]) 
   解释如下：
     opt[i-1][v] 表示第i件物品不装入背包中，而opt[i-1][v-c[i]] + w[i] 表示第i件物品装入背包中。

  花费如下：
     时间复杂度为o(V * T) ，空间复杂度为o(V * T) 。 时间复杂度已经无法优化，但是空间复杂度则可以进行优化。
     但必须将V 递减的方式进行遍历，即V.......0 的方式进行。
 
三 初始化：
   （1）若要求背包必须放满，则初始如下：
        f[0] = 0 , f[1...V]表示-INF。表示当容积为0时，只接受一个容积为0的物品入包。
   （2）若要求背包可以空下，则初始化如下：
        f[0...V] = 0 ，表示任意容积的背包都有一个有效解即为0。    
   具体解释如下：
     初始化的f数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。
     如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好装满”，
     其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，它们的值就都应该是-∞了。
     如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，
     这个解的价值为0，所以初始时状态的值也就全部为0了。

 

可以这样理解：背包的背负有上限，因此在这个上限内尽可能多的装东西，并且价值越多越好。

在这里我之想讨论动态规划解决这个问题的详细过程。

动态规划是用空间换时间的一种方法的抽象。其关键是发现子问题和记录其结果。然后利用这些结果减轻运算量。因为背包的最终最大容量未知，所以，我们得从1到M一个一个的试，比如，刚开始任选N件物品中的一个，看对应的M的背包，能不能放进去，如果能放进去，并且还有多少空间，则，多出来的空间能放N-1物品中的最大价值，怎么能保证总选则是最大价值呢，看下表：
测试数据：
10,3
3,4
4,5
5,6

c[i][j]数组保存了1,2,3号物品依次选择后的最大价值.

这个最大价值是怎么得来的呢?从背包容量为0开始,1号物品先试,0,1,2,的容量都不能放.所以置0,背包容量为3则里面放4.这样,这一排背包容量为4,5,6,....10的时候，最佳方案都是放4.假如1号物品放入背包.则再看2号物品.当背包容量为3的时候，最佳方案还是上一排的最价方案c为4.而背包容量为5的时候，则最佳方案为自己的重量5.背包容量为7的时候，很显然是5加上一个值了。加谁??很显然是7-4=3的时候.上一排c3的最佳方案是4.所以。总的最佳方案是5+4为9.这样.一排一排推下去。最右下放的数据就是最大的价值了。(注意第3排的背包容量为7的时候,最佳方案不是本身的6.而是上一排的9.说明这时候3号物品没有被选.选的是1,2号物品.所以得9.

从以上最大价值的构造过程中可以看出。

f(n,m)=max{f(n-1,m), f(n-1,m-w[n])+P(n,m)}这就是书本上写的动态规划方程.

下面是一种实现过程：（C语言描述）

#include<stdio.h> int c[10][100]; int knapsack(int m,int n) {     int i,j,w[10],p[10];     for(i=1;i<n+1;i++)     scanf("\n%d,%d",&w[i],&p[i]);     for(i=0;i<10;i++)     for(j=0;j<100;j++)     c[i][j]=0;     for(i=1;i<n+1;i++)     for(j=1;j<m+1;j++)     {         if(w[i]<=j){              if(p[i]+c[i-1][j-w[i]]>c[i-1][j])                  c[i][j]=p[i]+c[i-1][j-w[i]];               else                  c[i][j]=c[i-1][j];         }else               c[i][j]=c[i-1][j];      }      return(c[n][m]); } int main() {     int m,n;int i,j;     printf("input the max capacity and the number of the goods:\n");     scanf("%d,%d",&m,&n);     printf("Input each one(weight and value):\n");     printf("%d",knapsack(m,n));     printf("\n");     for(i=0;i<10;i++)         for(j=0;j<15;j++)         {              printf("%d ",c[i][j]);              if(j==14)printf("\n");         }     system("pause"); }

 四 代码如下：
   

/**//*
 01背包，使用了优化后的存储空间 
 建立数组
 
   f[i][v] = max(f[i-1][v]  ,  f[i-1][v-c[i]] + w[i])  
    将前i件物品，放入容量为v的背包中的最大值。
     

下面介绍一个优化，使用一维数组，来表示
(1) f[v]表示每一种类型的物品，在容量为v的情况下，最大值。
    但是体积循环的时候，需要从v----1循环递减。 
   
   
初始化问题： 
(1)若要求背包中不允许有剩余空间，则可以将f[0]均初始化为0，其余的f[1..n]均初始化为-INF 。 
    表示只有当容积为0 的时候，允许放入质量为0的物品。
    而当容积不为0的情况下，不允许放入质量为0的物品，并且把状态置为未知状态。   



(2)若要求背包中允许有剩余空间 ，则可以将f[1n]，均初始化为0。
   这样，当放不下去的时候，可以空着。 
    
          
     
     
*/

#include <iostream>
 using namespace std ; 
 const  int V = 1000 ;  //总的体积 
 const  int T = 5 ;    //物品的种类 
 int f[V+1] ;
 //#define EMPTY                                      //可以不装满 
 int w[T] = {8 , 10 , 4 , 5 , 5};        //价值 
 int c[T] = {600 , 400 , 200 , 200 , 300};        //每一个的体积 
 const int INF = -66536  ;
   
 int package()
 {
 #ifdef EMPTY
    for(int i = 0 ; i <= V ;i++) //条件编译，表示背包可以不存储满
      f[i] = 0 ;    
 #else
    f[0] = 0 ;
    for(int i = 1 ; i <= V ;i++)//条件编译，表示背包必须全部存储满
      f[i] = INF ;   
 #endif
    
    for(int i = 0 ; i < T ; i++)
    {
      for(int v = V ; v >= c[i] ;v--) //必须全部从V递减到0
         {              
           f[v] = max(f[v-c[i]] + w[i] , f[v])  ; //此f[v]实质上是表示的是i-1次之前的值。
         }                 
    }
    return f[V] ;        
 }
 
 int main()
 {
      
   int temp = package() ;   
   cout<<temp<<endl     ;   
   system("pause")      ;
   return 0 ;    
 }