判断素数

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本文介绍了一种有效的素数判断算法，通过验证一个数是否能被其平方根范围内的素数整除来确定其是否为素数。文章提供了两种实现方式，一种是普通版，直接检查每个可能的因数；另一种是加强版，预先筛选出素数，提高判断效率。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

问题：给你一个数，问你这个数是否为素数？

定理：如果一个数不能被其平方根以内的（素）数整除，其一定为素数。

证明：对于一个合数n，其一定可以达成n=a*b的形式（a和b为n的约数），其中一个约数大于等于 $n\sqrt{n}$ ，另一个小于等于 $n\sqrt{n}$ ，所以如果n不能被 $n\sqrt{n}$ 以内的（素）数整除，其必为素数。

普通版：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int main()
{
    int n;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        bool flag=1;
        for(int i=2;i<=sqrt(n);i++)
        {
            if(n%i==0)
            {
                flag=0;
                break;
            }
        }
        if(!flag||n<2)
        {
            printf("NO\n");
        }
        else
        {
            printf("YES\n");
        }
    }
    return 0;
}

加强版（提前把素数筛出来）：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
bool p[1000010];
int prime[1000010];
int main()
{
    memset(p,1,sizeof(p));
    p[0]=0,p[1]=0;
    int cnt=0;
    for(int i=2; i<=1000000; i++)
    {
        if(p[i])
        {
            cnt++;
            prime[cnt]=i;
        }
        for(int j=1; j<=cnt && prime[j]*i<=1000000; j++)
        {
            p[prime[j]*i]=0;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                break;
            }
        }
    }
    int n;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        bool flag=1;
        for(int i=1; prime[i]<=sqrt(n); i++)
        {
            if(n%prime[i]==0)
            {
                flag=0;
                break;
            }
        }
        if(!flag||n<2)
        {
            printf("NO\n");
        }
        else
        {
            printf("YES\n");
        }
    }
    return 0;
}