edwards25519 double算法

最新推荐文章于 2024-07-12 21:13:04 发布

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edwards25519 curve表示为：

$x^2+y^2=1+dx^2y^2,d=-(121665/121666),q=2^{255}-19$

根据博客Extended twisted Edwards curve坐标系中提及：

注意，在Extended坐标系下，可提供更快的加法运算，在Projective坐标系下，可提供更快的double运算！！！实际使用时，可根据不同的计算选择不同的坐标系。

所以，double运算采用论文《Twisted Edwards Curves》中的Doubling in Projective Twisted Coordinates算法：
在这里插入图片描述
对于edwards25519 curve， $a = - 1$ 。同时根据https://doc-internal.dalek.rs/curve25519_dalek/backend/serial/curve_models/index.html 中定义，对应的Projective坐标为 $W_1:W_2:W_3)$ ，详细的计算过程为：
$B=(X_1+Y_1)^2; C=X_1^2;D=Y_1^2;E=aC=-X_1^2;F:=E+D=Y_1^2-X_1^2; H=Z_1^2;J=F-2H=Y_1^2-X_1^2-2Z_1^2$
$\Rightarrow W_1=X_3=(B-C-D)*J=[(X_1+Y_1)^2-(X_1^2+Y_1^2)]*(Y_1^2-X_1^2-2Z_1^2)$
$\Rightarrow W_2=Y_3=F*(E-D)=(Y_1^2-X_1^2)*(-X_1^2-Y_1^2)$
$\Rightarrow W_3=Z_3=F*J=(Y_1^2-X_1^2)*(Y_1^2-X_1^2-2Z_1^2)$

$\because \frac{W_1}{W_3}=\frac{XT}{ZT}=\frac{X}{Z}=x=\frac{(X_1+Y_1)^2-(X_1^2+Y_1^2)}{Y_1^2-X_1^2}$
$\because \frac{W_2}{W_3}=\frac{YZ}{ZT}=\frac{Y}{T}=y=\frac{X_1^2+Y_1^2}{2Z_1^2-(Y_1^2-X_1^2)}$
$\therefore X=(X_1+Y_1)^2-(X_1^2+Y_1^2); Y=X_1^2+Y_1^2; Z=Y_1^2-X_1^2; T=2Z_1^2-(Y_1^2-X_1^2)$

以上得到的即为 $\sigma :((X:Z),(Y:T))$ 。相应的代码实现为：

// ------------------------------------------------------------------------
// Doubling
// ------------------------------------------------------------------------

impl ProjectivePoint {
    /// Double this point: return self + self
    pub fn double(&self) -> CompletedPoint { // Double()
        let XX          = self.X.square();
        let YY          = self.Y.square();
        let ZZ2         = self.Z.square2();
        let X_plus_Y    = &self.X + &self.Y;
        let X_plus_Y_sq = X_plus_Y.square();
        let YY_plus_XX  = &YY + &XX;
        let YY_minus_XX = &YY - &XX;

        CompletedPoint{
            X: &X_plus_Y_sq - &YY_plus_XX,
            Y: YY_plus_XX,
            Z: YY_minus_XX,
            T: &ZZ2 - &YY_minus_XX
        }
    }
}

由于有：
$\sigma :((X:Z),(Y:T))\mapsto(XY:XT:ZY:ZT)\mapsto(T':X':Y':Z')$
对应的 $(X^{'} : Y^{'} : Z^{'} : T^{'})$ 即为extended坐标系表示，有：
$X^{'} = X T; Y^{'} = Z Y; Z^{'} = Z T; T^{'} = X Y$

对应的代码实现为：

/// Convert this point from the \\( \mathbb P\^1 \times \mathbb P\^1
    /// \\) model to the \\( \mathbb P\^3 \\) model.
    ///
    /// This costs \\(4 \mathrm M \\).
    pub fn to_extended(&self) -> EdwardsPoint {
        EdwardsPoint {
            X: &self.X * &self.T,
            Y: &self.Y * &self.Z,
            Z: &self.Z * &self.T,
            T: &self.X * &self.Y,
        }
    }

参考资料：
[1] Extended twisted Edwards curve坐标系
[2] 论文《Twisted Edwards Curves》
[3] https://doc-internal.dalek.rs/curve25519_dalek/backend/serial/curve_models/index.html