滤波器设计（2）：经典FIR数字滤波器的设计

引言

以前有一篇IIR滤波器设计的文章。与IIR相对应，这篇文章主要讲FIR滤波器的设计。

以下一段摘自百度百科。

FIR(Finite Impulse Response)滤波器：有限长单位冲激响应滤波器，又称为非递归型滤波器，是数字信号处理系统中最基本的元件，它可以在保证任意幅频特性的同时具有严格的线性相频特性，同时其单位抽样响应是有限长的，因而滤波器是稳定的系统。因此，FIR滤波器在通信、图像处理、模式识别等领域都有着广泛的应用。

详细内容可见FIR滤波器百度词条。

FIR滤波器的优点，一定是稳定的（极点都在0的位置），可以做到线性相位，而IIR的相位是非线性的（摘自郑君里《信号与系统》）。

按奇偶节数、奇偶对称，把实h(n)的FIR分为四类。

从Hg(w)可以看出，有些就不能做低通，有些就不能做高通，等。

其他详细内容，可自行查阅资料。

窗函数法

FIR滤波器设计方法“据说”有很多种。本科上课的时候，就教过一种，窗函数法。

大致意思就是，要设计什么，就用那种对应的理想滤波器去乘以一个窗函数。

假设要设计一个LPF。理想LPF最好理解。但由于xxxx原因，不能物理实现。

上海交大（SJTU）某一年考研题目问的就是“为什么理想LPF物理不可实现”，以及什么是Gibbs（吉布斯）现象。

理想LPF的单位脉冲相应h(n)是无限长的，实际中不可能做到无限长的，所以希望用有限长的h1(n)去逼近h(n)，

实现最小均方误差意义下的最优。

有人证明了，把理想的h(n)截断，就可以得到最小均方误差意义下的最优。

截断的意思就是，加矩形窗w(n)。时域相乘，频域就是拿着H(jw)和窗函数的W(jw)卷积。

后来在有些场合下，发现矩形窗不能满足需求，于是有了三角窗、Hanning窗、Hamming窗、Blackman窗、Kaiser窗等。

一个理解就是拿主瓣宽度和旁瓣衰减互换。鱼和熊掌不可兼得。

e.g. 矩形窗，主瓣窄，旁瓣大，过渡带带宽宽，旁瓣衰减不够大。

总之，需要根据需求，选择窗函数。

设计步骤

用maltab设计FIR线性相位滤波器的步骤大致如下。

1. 根据需求，提出指标。

2. 把指标化成数字的。

3. 按照指标，选窗函数。

4. 按过渡带带宽，定阶数。但是，要注意阶数是否满足频率特性。比如，有些线性相位FIR滤波器就不能实现低通……

5. 调用fir1确定系数。

6. 检验其频率响应。又是一个反复试验，反复修正的过程。

注意， 千万小心，matlab里，zplane对FIR滤波器，慎用！慎用！不要轻易对FIR的系数求零极点。

阶数很高的时候，电脑要算死的。

窗函数

设计实例

%% 内容：设计FIR滤波器 % 作者：qcy % 版本：v1.0 % 时间：2016年10月27日22:34:24 clear ; close all ; clc %% Fs = 8000 ; % 采样率 fp = 1000 ; % Hz 通带截止频率 起伏小于xxx dB fs = 1500 ; % Hz 阻带截止频率 衰减大于xxx dB wp = 2 * pi * fp / Fs ; % 对应的数字角频率 ws = 2 * pi * fs / Fs ; % xxx fc = ( fp + fs ) / 2 ; % 要设计的FIR的截止频率 -_-! 几个概念容易搞混 % 就LPF来讲，fc按理说可能可以取为 fc = fp + (fs-fp) * theta, theta在0~1之间 w_bw = ( ws - wp ); % 过渡带带宽 % 如果要求阻带最小的衰减为 50 dB，查表发现hamming窗就可以满足条件 N = ceil ( 3.3 * 2 * pi / w_bw ); % 滤波器长度 3.3为Hamming窗过渡段的参数，用来求滤波器长度 win = hamming ( N + 1 ); Fs2 = Fs / 2 ; Wn = fc / Fs2 ; b = fir1 ( N , Wn , win ); [ H , w ] = freqz ( b , 1 , 1e4 ); figure ( 1 ); subplot ( 211 ); stem ( b ); title ( '单位脉冲响应' ); grid on ; subplot ( 212 ); plot ( w / 2 / pi * Fs , 20 * log10 ( abs ( H ) + eps )); title ( '幅频特性' ); xlabel ( '频率（Hz）' ); grid on ; figure ( 2 ); subplot ( 311 ); plot ( w / 2 / pi * Fs , 20 * log10 ( abs ( H ) + eps )); title ( '幅频特性' ); grid on ; subplot ( 312 ); plot ( w / 2 / pi * Fs , angle ( H )); title ( '相频特性' ); grid on ; subplot ( 313 ); plot ( w / 2 / pi * Fs , unwrap ( angle ( H ))); grid on ; title ( '相频特性（解卷绕后）' ); xlabel ( '频率（Hz）' );

 来自CODE的代码片

my_FIR_LPF.m

最后一张图中，相频特性进行了解卷绕（unwrap）。可以看出，相位确实是线性的。

FIR与IIR简单的对比

摘自郑君里《信号与系统》。