数学学习之数字相关（持续更新啊!）-优快云博客

本文介绍了数论的基础概念，包括辗转相除法求最大公约数、素数的筛选方法及测试，以及通过一道例题“无平方因子的树”展示了这些数论知识的应用。

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一、数论初步

1）、欧几里德算法及其扩展

欧几里德算法也叫辗转相除法。根据gcd(a,b)=gcd(b,a%b)可以由递归写出该算法。

    int gcd(int a,int b)
   {
         return b==0?a:gcd(b,a%b);
   }

2）、素数相关

可用Eratosthenes筛法构造素数表。

    void get_prime(int n);
   {
        memset(visit,0,sizeof(visit));
    
        for(int i=2;i<=n;i++)
           for(int j=i*2;j<=n;j+=1) visit[j]=1;
    }

当然，这只是标记visit数组里的第i个元素是不是素数，要直接用取素数还是有点麻烦。可以用下面的方法来的得到素数。

       void get_prime(int n)
      {
           memset(prime,0,sizeof(prime));
           memset(flag,0,sizeof(flag));
           int cnt=0;
    
           for(int i=2;i<=n;i++)
          {
               if(flag[i]) continue;
               prime[cnt++]=i;
               for(int j=2;j<=n;j++) flag[i*j]=1;//if n=i*j,so n is not a prime!
          }
      }

但是这里要开一个flag的数组，占内存。可以不用开flag这个数组的。

void get_prime(int n)
{
    memset(prime,0,sizeof(prime));
    cnt=0;

    for(int i=2;i<=n;i++)// for each number i,judge if i is a prime!
    {
        int isprime=1;
        for(int j=2;j<i;j++)// I had made a mistake here,this is j<i,notj<=i!
        {
            if(i%j==0)
            {
                isprime=0;
                break;
            }
        }
        if(isprime) prime[cnt++]=i;
    }
    return;
}

下面是一道lrj白书上的一道例题，叫无平方因子的树。详见这里： UESCT 1720。

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define MAXN 1000005
int prime[MAXN],flag[MAXN];
int cnt=0;
long long n;
void get_prime()
{
    memset(prime,0,sizeof(prime));
    memset(flag,0,sizeof(flag));

    for(int i=2;i<=MAXN;i++)
    {
        if(flag[i]) continue;
        prime[cnt++]=i;
        for(int j=2;j*i<MAXN;j++) flag[i*j]=1;
    }
}
long long dfs(int s,long long num)
{
    long long ans=0;
    for(int i=s;i<cnt&&(long long)prime[i]*prime[i]<=num;i++)
        ans+=num/prime[i]/prime[i]-dfs(i+1,num/prime[i]/prime[i]);
    return ans;
}
int main()
{
    int T;

    get_prime();
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%lld",&n);
        printf("%lld\n",n-dfs(0,n));
    }
    return 0;
}

3）、素数测试

用上面的方法可以可以判断一个数是不是素数，但是当素数太大是上面的方法就很费时，所以就要找一中简单有效的素数测试方法。

费马小定理:

$a^p \equiv a \pmod{p}$