hdu 6029 Graph Theory

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6029

题意：有一种图叫“Cool Graph”，从2号顶点到n号顶点每个顶点都有2种选择：(1)和前面所有的顶点(1 ~ i-1)都相连 (2)和前面所有的顶点都不相连。给出这些顶点的选择，问这个“Cool Graph”是否存在完美匹配（边的集合，使得图的每个顶点覆盖且仅覆盖一次）。

解题方案：

可以发现

• 当n为奇数时，一定不存在完美匹配，因为每条被选中的边都一定是覆盖2个点，所以最后只能覆盖到偶数个点。
• 当n为偶数时
  • 当最后一个顶点的选择是2时，一定不存在完美匹配，因为这时候最后一个顶点就是孤立点了，故不存在完美匹配
  • 当最后一个顶点的选择是1时，这是讨论的重点，下面进行进一步的讨论

对最后一种情况，因为在选择序列中，2只能由后面的1连，所以猜测：从后往前遍历，遇到每个2的时候check一下当前2的个数是不是小于或等于1的个数，若此条件一直成立，则此“Cool Graph”存在完美匹配。

证明：

• 必要性（上述条件是存在完美匹配的必要条件）
  • 用反证法来证明：当“Cool Graph”存在完美匹配时（大前提），假设上述条件不满足，则在某个2的位置它不能被后面的1连上（因为后面的1已经全被连完了），此时不存在完美匹配，与大前提矛盾，故假设不成立，即必要性成立。

• 充分性（上述条件是存在完美匹配的充分条件）
  • 直接证明：当上述条件成立时，选择序列中每个2都能被后面的1连上，然后一定剩下偶数个1，这偶数个1形成了一个完全图，随便怎么连都行，所以足够使完美匹配存在。

所以上述条件是“Cool Graph”存在完美匹配的充要条件，所以只需对上述条件进行判断就可以了。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <queue>
#include <stack>
#include <set>
#include <map>

using namespace std;

#define FOR(i,k,n) for(int i=k;i<n;i++)
#define FORR(i,k,n) for(int i=k;i<=n;i++)
#define scan(a) scanf("%d",&a)
#define scann(a,b) scanf("%d%d",&a,&b)
#define scannn(a,b,c) scanf("%d%d%d",&a,&b,&c)
#define mst(a,n)  memset(a,n,sizeof(a))
#define ll long long
#define N 100005
#define mod 1000000007
#define INF 0x3f3f3f3f

const double eps=1e-8;
const double pi=acos(-1.0);

int a[N];

int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    //freopen("out.txt","w",stdout);

    int t;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        int n;
        cin>>n;
        FORR(i,1,n-1) cin>>a[i];
        if(n&1) printf("No\n");
        else
        {
            if(a[n-1]==2) printf("No\n");
            else
            {
                int flag=1;
                int cnt1=0,cnt2=0;
                for(int i=n-1;i>=1;i--)
                {
                    if(a[i]==1) cnt1++;
                    else
                    {
                        cnt2++;
                        if(cnt2>cnt1)
                        {
                            flag=0;
                            break;
                        }
                    }
                }
                if(flag) printf("Yes\n");
                else printf("No\n");
            }
        }
    }
    return 0;
}