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正题题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P6944题目大意有nnn颗不同颜色的宝石，每次随机选择一颗复制，重复ddd次，求最后宝石数前rrr的颜色的宝石数之和的期望值。1≤r≤n,d≤3001\leq r\leq n,d\leq 3001≤r≤n,d≤300解题思路考虑一种最终状态SSS的概率，设第iii种宝石个数为ai+1a_i+1ai​+1，那么我们考虑在若干次分裂中分裂到这几个的概率，这里先考虑分子作为权重（因为分母一样）。首先分裂天数分配到每

正题题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF1267G题目大意给出nnn个物品，你可以进行如下操作花费xxx获得随机一个物品。花费cic_ici​获得第iii个物品。1≤n≤100,1≤x≤10000,∑ai≤1041\leq n\leq 100,1\leq x\leq 10000,\sum a_i\leq 10^41≤n≤100,1≤x≤10000,∑ai​≤104解题思路一个显然的策略是我们先roll完再买，所以我们可以分开考虑两部分先。

正题题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P5643题目大意给出nnn个点的一棵树，一个人从点xxx开始随机游走，然后QQQ次询问给出一个点集SSS，求期望多少步这个人会经过这个点集中的所有点。1≤n≤18,1≤Q≤50001\leq n\leq 18,1\leq Q\leq 50001≤n≤18,1≤Q≤5000解题思路整个点集都走完比较难统计，我们可以考虑用min−maxmin-maxmin−max容斥转为求走到其中一个点的期望步数。我们设我们目前

正题题目链接:https://uoj.ac/problem/351题目大意给出nnn个点的一棵树，开始所有点都是白色，每次随机点黑一个叶子（可以重复点），求期望多少次能使得白色点构成的图直径发生变化。答案对998244353998244353998244353取模1≤n≤5×1051\leq n\leq 5\times 10^51≤n≤5×105解题思路考虑什么时候会直径会产生变化。假设直径的长度LLL为偶数，那么所有的直径都有一个共同的中心点，设为xxx。此时我们需要在xxx的两棵子树

正题题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF1153F题目大意在有nnn个区间的左右端点在[0,l)[0,l)[0,l)范围内随机，求被至少kkk个区间覆盖的期望长度。1≤n,k≤2000,1≤l≤1091\leq n,k\leq 2000,1\leq l\leq 10^91≤n,k≤2000,1≤l≤109解题思路长度为lll上的数轴上2×n2\times n2×n个随机点的话期望距离都是l2n+1\frac{l}{2n+1}2n+1l​。所以我们

正题题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF1286D题目大意nnn个粒子，第iii个在xix_ixi​，速度是viv_ivi​，有pi100\frac{p_i}{100}100pi​​的概率朝左飞，有1−pi1001-\frac{p_i}{100}1−100pi​​的概率往右飞，求期望第一对粒子碰撞的时间（如果永远没有碰撞则为000）1≤n≤1051\leq n\leq 10^51≤n≤105解题思路期望+最小值显然是不能直接搞的，我们可以考虑枚举最

正题题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF1556F题目大意nnn个点的一张竞赛图，每个点有一个权值aia_iai​，(i,j)(i,j)(i,j)之间的边iii连jjj的概率是aiai+aj\frac{a_i}{a_i+a_j}ai​+aj​ai​​，否则jjj连iii。现在期望有多少个点能走到全图的任意一个点。1≤n≤14,1≤ai≤1061\leq n\leq 14,1\leq a_i\leq 10^61≤n≤14,1≤ai​≤106解题思路

正题题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF1540B题目大意nnn个点的一棵树，开始随机选择一个点标记，然后每次随机选择一个与被标记点连边的点标记，按照标记顺序排列，求期望逆序对数。1≤n≤2001\leq n\leq 2001≤n≤200解题思路显然是考虑两个点(x,y)(x,y)(x,y)产生的贡献。枚举根，然后两个点到根路径上公共的部分没有用，考虑不公共的部分一个长度为nnn，另一个长度为mmm，假设nnn先标记，此时我们可以枚举nnn标记的

正题题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4548题目大意ttt次询问，给出一个长度为mmm的串SSS和一个空串TTT，每次在TTT后面随机加入1∼n1\sim n1∼n的字符，直到TTT中出现SSS为止，求期望次数。1≤n≤105,t≤50,1≤m≤1051\leq n\leq 10^5,t\leq 50,1\leq m\leq 10^51≤n≤105,t≤50,1≤m≤105解题思路对于一个随机的数字XXX，它的概率生成函数是一个形如F(x)=∑

正题题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF235D题目大意给出一棵基环树，每次随机选择一个点让权值加上这个点的连通块大小然后删掉这个点。求删光所有点时期望权值。1≤n≤30001\leq n\leq 30001≤n≤3000解题思路先找到环，然后考虑暴力枚举点对(x,y)(x,y)(x,y)计算贡献，即统计在xxx删除时与yyy连通的概率。如果他们之间的路径没有经过环，那么显然这个概率是1∣p∣\frac{1}{|p|}∣p∣1​即xxx必须是第

前言话说在LojLojLoj下了个数据发现这题的名字叫fgofgofgo正题题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P5405题目大意nnn张卡的权值为1/2/31/2/31/2/3的概率权重分别是px,1/2/3p_{x,1/2/3}px,1/2/3​，然后按照权值每次获得一张未获得的卡，然后再该出一棵有向树（方向可以都是外向或内向的），求所有每条边(u,v)(u,v)(u,v)，uuu都比vvv先获得的概率。1≤n≤1000,0≤pi,j≤1061\

正题题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P7099题目大意给出nnn个坐标轴上的点，qqq次询问从某点出发每次等概率向左或者向右一格求到达某个给出点的期望步数。保证每个询问点左右都有目标点1≤n≤105,1≤q≤5×106,1≤xi,yi≤1091\leq n\leq 10^5,1\leq q\leq 5\times 10^6,1\leq x_i,y_i\leq 10^91≤n≤105,1≤q≤5×106,1≤xi​,yi​≤109解题思路每个询问具

正题题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3343题目大意给出nnn个点的一张无向图，每条边被修复的时间是[0,1][0,1][0,1]的一个随机实数，求这张图联通期望时间。1≤n≤10,m≤n(n−1)21\leq n\leq 10,m\leq \frac{n(n-1)}{2}1≤n≤10,m≤2n(n−1)​解题思路这个随机实数好像是用来吓人的（但是概率分布函数好像能搞）假设修好了kkk条之后恰好联通了，那么期望需要的时间就是km+1\frac{

正题题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4707题目大意nnn个物品，每次生成一种物品，第iii个被生成的概率是pim\frac{p_i}{m}mpi​​，求生成至少kkk种物品的期望次数。1≤n≤1000,max{n−10,1}≤k≤n,1≤m≤100001\leq n\leq 1000,max\{n-10,1\}\leq k\leq n,1\leq m\leq 100001≤n≤1000,max{n−10,1}≤k≤n,1≤m≤10000解题思路

正题题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF708E题目大意有n∗mn*mn∗m的矩形网格，然后每次每行最左边和最右边的格子有p=cdp=\frac{c}{d}p=dc​的概率会消失，进行kkk次。求最后所有格子依旧四联通的概率，在%(109+7)\%(10^9+7)%(109+7)的情况下进行1≤n,m≤1500,1≤k≤1051\leq n,m\leq 1500,1\leq k\leq 10^51≤n,m≤1500,1≤k≤105解题思路n,mn

正题题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P5437题目大意nnn个点的完全图，连接i,ji,ji,j的边权值为(i+j)k(i+j)^k(i+j)k。随机选出一个生成树，求期望边权和。1≤n<998244353,1≤k≤1071\leq n<998244353,1\leq k\leq 10^71≤n<998244353,1≤k≤107解题思路一条边选出来的概率是2n\frac{2}{n}n2​（总共有2n(n−1)\frac{2}{n

正题题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/AT2164题目大意nnn只兔子编号为1∼n1\sim n1∼n，第iii只在坐标轴xix_ixi​处。然后mmm次跳跃，每次给出aia_iai​，编号为aia_iai​的兔子会等概率的选取ai−1a_{i-1}ai−1​和ai+1a_{i+1}ai+1​跳跃到对称位置。进行kkk轮，求最后每只兔子的期望位置。3≤n≤105,1≤m≤105,1≤k≤10183\leq n\leq 10^5,1\leq m\leq 10

正题题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4457题目大意开始一个人最大生命值为nnn，剩余hphphp点生命，然后每个时刻如果生命值没有满那么有1m+1\frac{1}{m+1}m+11​的概率回复一点生命，然后敌人攻击kkk次，每次有1m+1\frac{1}{m+1}m+11​概率造成一点伤害。求期望多少次后生命值降到000或以下。1≤T≤100,1≤n≤1500,1≤m,k≤1091\leq T\leq 100,1\leq n\leq 1500,1\

正题题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF605E题目大意给出nnn个点的一张完全有向图，每一天iii到jjj的路径有pi,jp_{i,j}pi,j​的概率出现。询问从111出发走到nnn在最优策略下的期望天数。1≤n≤103,pi,i=11\leq n\leq 10^3,p_{i,i}=11≤n≤103,pi,i​=1解题思路设gig_igi​表示从iii到nnn的答案，那么ggg满足式子gi=∑j=1ngj∏gk<gj(1−pj,k)×

正题题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4321题目大意给出nnn个点mmm条边的一张无向图，qqq次询问。每次询问给出一个点集和一个起点，求从起点出发随机游走经过所有点集的期望步数。n∈[1,18],m∈[1,n(n−1)2],q∈[1,105]n\in[1,18],m\in[1,\frac{n(n-1)}{2}],q\in[1,10^5]n∈[1,18],m∈[1,2n(n−1)​],q∈[1,105]解题思路首先nnn很小可以状压经过点的状态

正题题目链接:https://www.ybtoj.com.cn/contest/113/problem/2题目大意一个空序列，每次往末尾加入一个[1,m][1,m][1,m]中的随机一个数。如果末尾两个数相同都为xxx且(x<t)(x<t)(x<t)，那么将它们合并成x+1x+1x+1。如果序列长度为nnn且无法合并则结束，求序列期望和。n,m∈[1,103],t∈[1,109]n,m\in[1,10^3],t\in[1,10^9]n,m∈[1,103],t∈[1,109]

正题题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF280C题目大意nnn个点的一棵树，每次选择一个没有染色的点把它和它的子树染黑，求期望全部染黑的步数。解题思路可以理解为我们按照一个顺序轮流染色，如果一个点有祖先节点在它前面就不用计算贡献。也就是如果一个点要计算贡献的概率就是它要排在所有它的祖先节点前面，也就是1depx\frac{1}{dep_x}depx​1​。求个和就好了。时间复杂度O(n)O(n)O(n)code#include<cst

正题题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3175题目大意开始有一个nnn位二进制数s=0s=0s=0，每次有pip_ipi​概率选取数字iii让sss或上这个数字iii，求期望多少次能够让sss的nnn个位都变为111。解题思路因为是或所以我们只关心最后一个选中的数，设第iii位选中的期望次数为E(i)E(i)E(i)的话答案就是max{E(i)}max\{E(i)\}max{E(i)}。又是期望又是maxmaxmax所以可以直接上min-max\t

正题题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P5516题目大意nnn个字母的一个字符串，每次随机选取两个不同的位置(x,y)(x,y)(x,y)让第xxx个位置的字符变成第yyy个位置的字符。求期望多少次能够把所有字符变成同一个。解题思路因为最终状态很多，所以我们考虑枚举最终状态，我们称之为目标状态。设pip_ipi​表示目标状态的字符有iii个时，该状态变为最终状态的概率，那么有pi=i(n−i)n(n−1)pi−1+n(n−1)−2i(n−i)n(n

正题题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF1139D题目大意不停的在表格中填下1∼m1\sim m1∼m中随机一个数，直到所有数的gcd=1gcd=1gcd=1为止，求期望数的个数。解题思路设fnf_nfn​表示现在gcdgcdgcd为nnn时的期望个数。那么有转移方程fn=∑i=1mfgcd(i,n)m+1f_n=\frac{\sum_{i=1}^mf_{gcd(i,n)}}{m}+1fn​=m∑i=1m​fgcd(i,n)​​+1为了方便，我们先

正题题面链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P6030题目大意nnn个点的一张有向图，求起点到终点的期望步数。保证每个强连通分量大小不超过100100100。解题思路显然如果是强连通分量那么显然需要用高斯消元。先把强连通用tarjantarjantarjan缩起来，如果有任何不是ttt的节点没有出度那么答案都为INFINFINF，然后剩下的每个用高斯消元做一次即可。codecodecode#include<cstdio>#include

正题题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4284题目大意nnn个点的一棵树，每个点有pip_ipi​概率通电，每个边有一定概率可以导电。求期望有电的节点个数。解题思路发现考虑通电概率很难，所以我们可以考虑不通电的概率。如果只是计算一个点的话很方便，我们统计一下以一个点为根时候每个点的通电概率fif_ifi​即可。有转移方程fx=(1−px)∗∏( fy+(1−fy)∗(1−w) )f_x=(1-p_x)*\prod (\ f_y

正题题目大意开始暴击率为xxx，每次失败后都会增加xxx，成功后重置，然后求攻击1010610^{10^6}10106次后的暴击次数除以1010610^{10^6}10106解题思路定义ansansans为期望攻击多少次后暴击，然后答案为1ans\frac{1}{ans}ans1​。然后ansansans可以枚举多少次暴击计算即可。codecodecode#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm

正题题目链接:https://atcoder.jp/contests/agc030/tasks/agc030_d题目大意nnn个数，ppp次操作可以选择操作或者不操作，询问所有情况下逆序对的总和。解题思路转换成期望的问题，设fi,jf_{i,j}fi,j​表示所有情况下ai<aja_i<a_jai​<aj​的情况，那么对于每次操作有12\frac{1}{2}21​的概率交换和不交换，可以用dpdpdp转移。最后答案乘上2q2^q2q即可。时间复杂度O(n2+nq)O(n^2

正题题目大意:https://www.luogu.com.cn/problem/P4564题目大意nnn个人第iii个有mim_imi​点血，每次有操作有ppp的概率对一个人造成111点伤害（如果死了就不算，ppp每次都不同）给出若干个人，对里面存活的人随机选择一个，求每个人被选中的概率最后要求输出每个人的期望血量解题思路pi,jp_{i,j}pi,j​表示第iii个人剩余jjj点血的概率。这个可以O(Qn)O(Qn)O(Qn)的时间内维护。考虑如何计算概率，因为存活人数的不同，产

正题题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P6046题目大意nnn个数，每次选择两个相邻的数删除小的那个，求每个数期望存活轮数。解题思路相当于一条链每次缩掉一条边，我们发现其实每个点只需要考虑左右第一个比它大的就好了。定义P(x)P(x)P(x)表示xxx轮攻击后还没有死亡的概率，有ans=∑i=1n−1P(i)ans=\sum_{i=1}^{n-1}P(i)ans=i=1∑n−1​P(i)对于每个P(i)P(i)P(i)我们固定到左边第一个比它大的数的

正题题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P6835?contestId=34123题目大意n+1n+1n+1个点，其中每个iii向i+1i+1i+1连边(i≤n)(i\leq n)(i≤n)，然后有mmm对(u,v)(u,v)(u,v)表示uuu向vvv连边u≥vu\geq vu≥v。开始在点111，每次随机走一个相连的点。求到n+1n+1n+1号点的期望步数。解题思路就是没有后效性的随机游走，设fif_ifi​表示iii号点走向i+1i+1i+1号点的

正题题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P6834?contestId=34123题目大意nnn个点，每个点i(i≠1)i(i\neq 1)i(i​=1)随机连接[i−k,i−1][i-k,i-1][i−k,i−1]中的一个点。对于每个点有一个权值aia_iai​。每次可以选择一个全部都是正权值的连通块里所有权值减一，求最优期望次数。解题思路考虑每个点的贡献，对于一个节点xxx和它的父节点fafafa显然根据铺设道路那题的做法，这个点的贡献就是max{

正题题目链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/7329/D题目大意nnn个数的序列，排序后让随机kkk个数加上ddd，求依旧满足单调上升的期望概率解题思路对于一个位置加上ddd后会让到后面一段范围内都得加上ddd。我们预处理一个lil_ili​表示如果iii加上ddd后[i+1,li][i+1,l_i][i+1,li​]都得加上ddd。然后设fi,jf_{i,j}fi,j​表示到第iii个加了kkk次依旧满足条件的方案数。然后O(n2)dpO(n^2

正题题目大意nnn个球排成一排颜色不同，每次选择一个随机的[1..n][1..n][1..n]中的xxx，然后删掉第xxx个或第n−x+1n-x+1n−x+1个数，求删kkk次之后删掉的白球最多，求删掉数量的期望值解题思路考虑状态压缩dpdpdp，定义第一个111所在位数表示剩下的球数，111表示该位置是白球，000表示该位置是黑球。设fsf_sfs​表示状态为sss时的最小期望值。del(s,i)del(s,i)del(s,i)表示sss去掉第iii个球后的状态，有状态转移方程fs=∑i=1

正题题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3600题目大意nnn个数的序列，每个数是[1..x][1..x][1..x]中的一个，有qqq个区间[l..r][l..r][l..r]，求所有区间最小值的最大值的期望。解题思路首先如果一个区间包含别的区间，那么这个区间显然不需要考虑，所以去掉后左端点和右端点同时递增，考虑最大值不超过iii的方案hi...

正题题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3317题目大意nnn个点若干条边。告诉你每条边出现的概率，求刚好出现一颗生成树的概率是多少。解题思路矩阵树定理是计算每个生成树的每条边乘积之和。我们考虑将答案转换为那个形式，ai,ja_{i,j}ai,j​表示i−>ji->ji−>j的边出现的概率，那么对于每棵生成树有答案∏x−...

正题题目链接:http://www.51nod.com/Contest/Problem.html#contestProblemId=305题目大意nnn个商铺，第iii个商铺有pip_ipi​的概率营业，一个人从111走到nnn再走回来一直重复，如果走到没有人营业的商铺那么就结束。求期望走多少个商铺后停下。解题思路我们可以先计算他走一个来回的期望停下位置www和不停下的概率zzz，...

正题题目链接:https://jzoj.net/senior/#main/show/3801题目大意mmm面的骰子是1∼m1\sim m1∼m，然后丢nnn次，求最大值的数学期望。解题思路若抛到的数都≤i\leq i≤i那么期望概率就是(1i)n(\frac{1}{i})^n(i1​)n我们考虑若iii是最大值时概率就是(1i)n−(1i−1)n(\frac{1}{i})^n-(\...

正题题目大意nnn个人，有投票几率aia_iai​和级别bib_ibi​，kkk个糖，每个可以让一个官员增加0.10.10.1的投票几率。然后如果有超过一半的人投你，你就可以成功。不然成功概率就是A/(A+∑i∈Sbi)A/(A+\sum^{i\in S}b_i)A/(A+∑i∈S​bi​)求最大的成功概率解题思路由于数据小的可怜，所以我们直接dfsdfsdfs枚举给糖，然后枚举...