NYOJ 42 一笔画问题（欧拉定理&&并查集）

一笔画问题

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难度：4

描述

zyc从小就比较喜欢玩一些小游戏，其中就包括画一笔画，他想请你帮他写一个程序，判断一个图是否能够用一笔画下来。

规定，所有的边都只能画一次，不能重复画。

 

输入

第一行只有一个正整数N(N<=10)表示测试数据的组数。
每组测试数据的第一行有两个正整数P,Q(P<=1000,Q<=2000)，分别表示这个画中有多少个顶点和多少条连线。（点的编号从1到P）
随后的Q行，每行有两个正整数A,B(0<A,B<P)，表示编号为A和B的两点之间有连线。

输出

如果存在符合条件的连线，则输出"Yes",
如果不存在符合条件的连线，输出"No"。

样例输入

2
4 3
1 2
1 3
1 4
4 5
1 2
2 3
1 3
1 4
3 4

样例输出

No
Yes

方法一：

欧拉定理   如果一个网络是连通的并且奇顶点的个数等于0或2，那么它可以一笔画出；否则它不可以一笔画出。

判断一笔画的方法：

　　①是连通的。一个图，如果图上任意二点总有线段连接着，就称为连通的。不是连通的就不能一笔画出。

　　②奇点个数是0或者是2。图上线段的端点可以分成二类，奇点和偶数。一个点，以它为端点的线段数是奇数就称为奇点，线段数是偶数就称为偶点。

　　一个图是否是一笔画就看奇点的个数，奇点个数是 0 或者 2，就是一笔画，否则就不是一笔画。

所以这个问题完全可以转化策略为：

           第一步： 首先我们不管它三七二十几，先进行连通性的判断。

           第二步：

                      （1）如果是连通的，我们来判断此图的度的奇点的个数是0或者是2 ，如果是，则说明这个是欧拉图，即可以一笔画出，反之则不能一笔画出

                      （2）如果是非连通的，这说明这个图很定不能一笔画出。

 

#include<stdio.h>
#include<string.h>
int p,q;
bool map[1005][1005],vis[1005];
int count[1005];
void dfs(int num){//深搜如果节点连通记为1 
	vis[num]=1;
	for(int i=1;i<=p;i++){
		if(map[num][i]){
			count[num]++;
			if(!vis[i])
			   dfs(i); 
		}
	}
}
int main(){
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		scanf("%d%d",&p,&q);
		memset(map,0,sizeof(map));
		memset(vis,0,sizeof(vis));
		memset(count,0,sizeof(count));
		for(int i=0;i<q;i++){
			int a,b;
			scanf("%d%d",&a,&b);
			map[a][b]=map[b][a]=1;
		}
		dfs(1);
		int flag=0,num=0;
		for(int i=1;i<=p;i++){// 查看是否连通 
			if(!vis[i]) {
		  	flag=1;
		  	break;
		  }
		  if(count[i]%2!=0) num++; //奇点个数 
		}
		 
		  
		  if(flag) printf("No\n");
		  else{
		  	if(num==0||num==2) printf("Yes\n");
		  	else printf("No\n");
		  }	  
	}
	return 0;
}

方法二：并查集查找是否为连通图

#include<stdio.h>
#include<string.h>
int father[1005],ans[1005];
int p,q;
void Init(){
	for(int i=1;i<=p;i++){
		father[i]=i;
	}
}
int find1(int a){
	int p=a,t;
	while(father[p]!=p) p=father[p];//p不是根节点 ,使p等于它的父节点,直到找到根节点为止，即father[i]=i
	while(a!=p){          //路径压缩，使x及其父节点直接指向根节点                   
		t=father[a];
		father[a]=p;
		a=t;
	}
	return a; 
}
int find(int x){
	if(father[x]==x) return x;
	else {
		return father[x]=find(father[x]);
	}
}
int main(){
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
	Init();
	memset(ans,0,sizeof(ans));
		scanf("%d%d",&p,&q);
		int a,b;
		for(int i=0;i<q;i++){
			scanf("%d%d",&a,&b);
			ans[a]++;ans[b]++;
			a=find(a);b=find(b);
			if(a!=b){
				father[a]=father[b];//合并 
			} 
		}
		int num=0,count=0;
		for(int i=1;i<=p;i++){
			if(find(i)==i) count++;//根节点数，如果有两个或两个以上根节点说明图不连通 
			if(ans[i]%2!=0) num++;//奇点个数 
		}
		if(count==1&&(num==0||num==2)) printf("Yes\n");
		else printf("No\n"); 
	}
}