【数据结构】—— 4、二分搜索树

将数据使用树结构存储后,出奇的高效

• 二分搜索树(Binary Search Tree)
• 平衡二叉树:AVL;红黑树
• 堆;并查集
• 线段数;Trie(字典数,前缀树)

二叉树
和链表一样 ,动态数据结构

class Node { 
	E e;
	Node left; // 左孩子
	Node right; // 右孩子
}

• 二叉树具有唯一的根节点
• 左孩子 右孩子
• 二叉树中每个节点最多有两个孩子
• 叶子节点(没有孩子的节点)
• 二叉树每个节点最多只有一个父亲节点
• 二叉树具有天然的递归结构
  • 左子树，每个节点的左子树也是二叉树
  • 右子树，每个节点的右子树也是二叉树
• 二叉树不一定是满的
  • 只有一个节点，也可以是二叉树
  • NULL也可以看成 二叉树

二分搜索树

• 二分搜索树是二叉树
• 二分搜索树的每个节点的值:
  • 大于左子树的所有节点的值
  • 小于右子树所有节点的值
• 每一颗子树也是二分搜索树

条件

• 存储的元素具有可比较性

public class BST<E extends Comparable<E>> {
    private class Node {
        public E e;
        public Node left, right;
        public Node(E e) {
            this.e = e;
            left = null;
            right = null;
        }
    }

    private Node root;
    private int size;
    public BST() {
        root = null;
        size = 0;
    }
    public int getSize() {
        return size;
    }
    public boolean isEmpty() {
        return size == 0;
    }
}

集合

• 不能盛放重复的元素

1、向二分搜索树中添加元素

public class BST<E extends Comparable<E>> {

    private class Node {
        public E e;
        public Node left, right;
        public Node(E e) {
            this.e = e;
            left = null;
            right = null;
        }
    }
    
    private Node root;
    private int size;
    public BST(){
        root = null;
        size = 0;
    }

    public int size(){
        return size;
    }

    public boolean isEmpty(){
        return size == 0;
    }

    // 向二分搜索树中添加新的元素e
    public void add(E e){
        if(root == null){
            root = new Node(e);
            size ++;
        } else {
        	add(root, e);
        }    
    }

    // 向以node为根的二分搜索树中插入元素e，递归算法
    private void add(Node node, E e){
        if(e.equals(node.e)) {
        	return;
        } else if(e.compareTo(node.e) < 0 && node.left == null){
            node.left = new Node(e);
            size ++;
            return;
        } else if(e.compareTo(node.e) > 0 && node.right == null){
            node.right = new Node(e);
            size ++;
            return;
        }

        if(e.compareTo(node.e) < 0)
            add(node.left, e);
        else //e.compareTo(node.e) > 0
            add(node.right, e);
    }
}

2、改进添加操作：深入理解递归终止条件

	// 向二分搜索树中添加新的元素e
    public void add(E e){
        root = add(root, e);
    }
    // 向以node为根的二分搜索树中插入元素e，递归算法
    // 返回插入新节点后二分搜索树的根
    private Node add(Node node, E e){
        if(node == null){
            size ++;
            return new Node(e);
        }
        if(e.compareTo(node.e) < 0)
            node.left = add(node.left, e);
        else if(e.compareTo(node.e) > 0)
            node.right = add(node.right, e);
        // 相等情况不做任何操作
        
        return node;
    }

3、二分搜索树的查询操作

	// 看二分搜索树中是否包含元素e
    public boolean contains(E e){
        return contains(root, e);
    }

    // 看以node为根的二分搜索树中是否包含元素e, 递归算法
    private boolean contains(Node node, E e){

        if(node == null)
            return false;

        if(e.compareTo(node.e) == 0)
            return true;
        else if(e.compareTo(node.e) < 0)
            return contains(node.left, e);
        else // e.compareTo(node.e) > 0
            return contains(node.right, e);
    }

4、二分搜索树的前序遍历

	// 二分搜索树的前序遍历
    public void preOrder(){
        preOrder(root);
    }

    // 前序遍历以node为根的二分搜索树, 递归算法
    private void preOrder(Node node){
        if(node == null)
            return;

        System.out.println(node.e);
        preOrder(node.left);
        preOrder(node.right);
    }

5、二分搜索树的中序遍历

	// 二分搜索树的中序遍历
    public void inOrder(){
        inOrder(root);
    }

    // 中序遍历以node为根的二分搜索树, 递归算法
    private void inOrder(Node node){
        if(node == null)
            return;

        inOrder(node.left);
        System.out.println(node.e);
        inOrder(node.right);
    }

6、二分搜索树的后序遍历

	// 二分搜索树的后序遍历
    public void postOrder(){
        postOrder(root);
    }

    // 后序遍历以node为根的二分搜索树, 递归算法
    private void postOrder(Node node){
        if(node == null)
            return;

        postOrder(node.left);
        postOrder(node.right);
        System.out.println(node.e);
    }

7、二分搜索树的层序遍历

public void levelOrder(){

        if(root == null)
            return;

        Queue<Node> q = new LinkedList<>();
        q.add(root);
        while(!q.isEmpty()){
            Node cur = q.remove();
            System.out.println(cur.e);

            if(cur.left != null)
                q.add(cur.left);
            if(cur.right != null)
                q.add(cur.right);
        }
    }

8、删除二分搜索树的最大元素和最小元素

	// 1、寻找二分搜索树的最小元素
    public E minimum(){
        if(size == 0)
            throw new IllegalArgumentException("BST is empty");
        Node minNode = minimum(root);
        return minNode.e;
    }
    // 返回以node为根的二分搜索树的最小值所在的节点
    private Node minimum(Node node){
        if( node.left == null )
            return node;
        return minimum(node.left);
    }
    
    // 2、寻找二分搜索树的最大元素
    public E maximum(){
        if(size == 0)
            throw new IllegalArgumentException("BST is empty");

        return maximum(root).e;
    }
    // 返回以node为根的二分搜索树的最大值所在的节点
    private Node maximum(Node node){
        if( node.right == null )
            return node;

        return maximum(node.right);
    }
    
    // 从二分搜索树中删除最小值所在节点, 返回最小值
    public E removeMin(){
        E ret = minimum();
        root = removeMin(root); // 删除逻辑
        return ret;
    }
    // 删除掉以node为根的二分搜索树中的最小节点
    // 返回删除节点后新的二分搜索树的根
    private Node removeMin(Node node){
    	// 删除掉以node为根的二分搜索树中的最小节点
    	// 返回删除节点后新的二分搜索树的根
        if(node.left == null) { 
            Node rightNode = node.right;
            node.right = null;
            size --;
            return rightNode;
        }
        node.left = removeMin(node.left);
        return node;
    }

9、删除二分搜索树的任意元素
删除左右都有孩子的节点d，找到右子树中相对节点的值的最小的点s(s = min(d->right) )，
s是d的后继，
s -> right = delMin(d -> right)
s -> left = delMin(d -> left)

	// 从二分搜索树中删除元素为e的节点
    public void remove(E e){
        root = remove(root, e);
    }
    
	// 删除掉以node为根的二分搜索树中值为e的节点, 递归算法
    // 返回删除节点后新的二分搜索树的根
    private Node remove(Node node, E e){
        if( node == null )
            return null;

        if( e.compareTo(node.e) < 0 ){
            node.left = remove(node.left , e);
            return node;
        } else if(e.compareTo(node.e) > 0 ){
            node.right = remove(node.right, e);
            return node;
        } else {   // e.compareTo(node.e) == 0
            // 待删除节点左子树为空的情况
            if(node.left == null){
                Node rightNode = node.right;
                node.right = null;
                size --;
                return rightNode;
            }
            // 待删除节点右子树为空的情况
            if(node.right == null){
                Node leftNode = node.left;
                node.left = null;
                size --;
                return leftNode;
            }
            // 待删除节点左右子树均不为空的情况
            // 找到比待删除节点大的最小节点, 即待删除节点右子树的最小节点
            // 用这个节点顶替待删除节点的位置
            Node successor = minimum(node.right);
            successor.right = removeMin(node.right); // 已size--，所以要size++回来
            successor.left = node.left;
			// 删除node。上面已size--，需size++，正好和上面size--抵消
            node.left = node.right = null; 

            return successor;
        }
    }