9、矩形坐标下平面弹性问题的零特征值特征解及圣维南问题求解

矩形坐标下平面弹性问题的零特征值特征解及圣维南问题求解

1. 零特征值特征解

零特征值在哈密顿特征值问题中是非常特殊的，它不在一般的表达式中，但在弹性力学里具有特殊意义。对于矩形域的弹性问题，由于两侧边界（(x = ±h)）是自由的，存在重复的零特征值。

为了得到零特征值的特征解，需要求解微分方程 (Hψ(x) = 0) ，展开该方程可得：
[
\begin{cases}
0 - \nu \frac{du}{dx} + \frac{1 - \nu^2}{E} \sigma + 0 = 0 \
- \frac{dw}{dx} + 0 + 0 + \frac{2(1 + \nu)}{E} \tau = 0 \
0 + 0 + 0 - \frac{d\tau}{dx} = 0 \
0 - E \frac{d^2u}{dx^2} - \nu \frac{d\sigma}{dx} + 0 = 0
\end{cases}
]
该特征解需满足两侧（(x = ±h)）的齐次边界条件。由上述方程和边界条件可知，解可解耦为两组：
- 关于 (w) 和 (\tau) 的第一组方程，求解得到 (w = c_1)，(\tau = 0)。
- 关于 (u) 和 (\sigma) 的第二组方程，求解得到 (u = c_2)，(\sigma = 0)。

其中 (c_1) 和 (c_2) 为任意常数。因此，线性无关的基本特征解为：
(\psi_{0f}^{(0)} = [1, 0; 0, 0]^T)
(\psi_{0s}^{(0)} = [0, 1; 0, 0]^T)

这里