4、弹性力学基本方程与变分原理解析

弹性力学基本方程与变分原理解析

1. 弹性力学的基本方程概述

弹性力学的基本方程主要包括平衡方程、应变 - 位移关系和应力 - 应变关系，这些方程构成了弹性力学问题求解的基础。

1.1 平衡方程

平衡方程描述了弹性体内应力分量与外力之间的平衡关系。在直角坐标系 (Oxyz) 中，应力分量需满足以下平衡方程：
[
\begin{cases}
\frac{\partial \sigma_x}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{xz}}{\partial z} + F_x = 0 & (2.1.10a) \
\frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_y}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{yz}}{\partial z} + F_y = 0 & (2.1.10b) \
\frac{\partial \tau_{xz}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yz}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_z}{\partial z} + F_z = 0 & (2.1.10c)
\end{cases}
]
上述方程可以用算子矩阵 (E(\nabla)) 表示为 (E(\nabla)\sigma + F = 0)，其中：
[
E(\nabla) =
\begi