3、弹性力学中的数学基础与基本方程

弹性力学中的数学基础与基本方程

1. 辛弹性基础

在有限维辛空间中，有一系列与欧几里得空间相对应的概念和性质。以下是欧几里得空间与辛空间的一些对应关系：
| 欧几里得空间 | 辛空间 |
| — | — |
| 内积 (α, β) — {长度} | 辛内积 ⟨α, β⟩— {面积} |
| 单位矩阵 I | 单位辛矩阵 J |
| 正交性 (x, y) = xᵀy(= xᵀIy) = 0 | 辛正交性 ⟨x, y⟩= xᵀJy = 0 |
| (标准) 正交基 | (标准) 伴随辛正交归一基 |
| 正交矩阵 QᵀQ = (QᵀIQ =)I | 辛矩阵 SᵀJS = J |
| 对称变换 (α, Ãβ) = (β, Ãα) | 哈密顿变换 ⟨α, H̃β⟩= ⟨β, H̃α⟩ |
| 对称矩阵 Aᵀ = A(= IAI) | 哈密顿矩阵 Hᵀ = JHJ |
| 实对称矩阵的特征值是实数 | 若 µ 是哈密顿矩阵的特征值，则 -µ 也是其特征值 |
| 实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交 | 哈密顿矩阵非辛伴随特征值对应的特征向量辛正交 |
| 实对称矩阵的特征向量可构成标准正交基 | 哈密顿矩阵的特征向量可构成标准伴随辛正交归一基 |

这些概念和性质大多可直接推广到无限维辛空间，通过与欧几里得空间的对比，能更好地理解辛空间的相关概念。

2. 勒让德变换

勒让德变换是实现从拉格朗日系统到哈密顿系统转换的关键。考虑两个变量的勒让德变换，设 (f = f(x, y))，则：
(df = udx + vdy)
其中 (u = \fr