复数运算与矩阵计算详解

原创

于 2025-09-14 09:59:35 发布 · 680 阅读

10 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#复数运算 #矩阵计算 #共轭复数

1、设(z = 5 + 2i)和(w = 7 + 4i)为两个复数。计算(z)和(w)的共轭复数、(z)与(w)的和以及(z - w)的值。

$ z $的共轭复数$ \overline{z} = 5 - 2i $，$ w $的共轭复数$ \overline{w} = 7 - 4i $；
$ z + w = (5 + 2i) + (7 + 4i) = (5 + 7) + i(2 + 4) = 12 + 6i $；
$ z - w = (5 + 2i) - (7 + 4i) = (5 - 7) + i(2 - 4) = -2 - 2i $。

2、设z = 5 + 2i和w = 7 + 4i为两个复数。计算z × w的乘积以及z / w和w / z的商。

根据复数乘法公式
$$
(z × w = (x_z + iy_z) × (x_w + iy_w) = (x_zx_w - y_zy_w) + i(x_zy_w + y_zx_w))
$$
可得
$$
z × w = (5 + 2i) × (7 + 4i) = (5×7 - 2×4) + i(5×4 + 2×7) = 27 + 34i
$$

根据复数除法公式
$$
\frac{z}{w} = \frac{x_z + iy_z}{x_w + iy_w} = \frac{(x_zx_w + y_zy_w) + i(y_zx_w - x_zy_w)}{x_w^2 + y_w^2}
$$
可得
$$
\frac{z}{w} = \frac{5 + 2i}{7 + 4i} = \frac{(5×7 + 2×4) + i(2×7 - 5×4)}{7^2 + 4^2} = \frac{43 - 6i}{65} = \frac{43}{65} - \frac{6}{65}i
$$
$$
\frac{w}{z} = \frac{7 + 4i}{5 + 2i} = \frac{(7×5 + 4×2) + i(4×5 - 7×2)}{5^2 + 2^2} = \frac{43 + 6i}{29} = \frac{43}{29} + \frac{6}{29}i
$$

3、设矩阵A = ⎛ ⎜ ⎝ 3 2 −5 1 −3 2 5 −1 4 ⎞ ⎟ ⎠ ，B为一个3×3矩阵，计算A与B的和。

矩阵A与B的和是一个3×3实矩阵C，其元素 $ c_{ij} = a_{ij} + b_{ij} $，其中 $ i = 1, \ldots, 3 $，$ j = 1, \ldots, 3 $。在R语言中，可使用命令 C <- A + B 来执行此操作。

4、设矩阵$A = \begin{pmatrix}3&2& - 5\1& - 3&2\5& - 1&4\end{pmatrix}$和矩阵$B = \begin{pmatrix}7&2&1\0&3& - 1\-3&4& - 2\end{pmatrix}$为两个$3\times3$矩阵。计算矩阵$A$和$B$的从属矩阵$1 -$范数。

矩阵$A$的从属矩阵$1 -$范数$\vert A\vert_1=\max_{j = 1,2,3}\sum_{i = 1}^{3}\vert a_{ij}\vert$。

对于矩阵
$$
A=\begin{pmatrix}3&2& - 5\1& - 3&2\5& - 1&4\end{pmatrix}
$$
有：
$$
\sum_{i = 1}^{3}\vert a_{i1}\vert=\vert3\vert+\vert1\vert+\vert5\vert = 9
$$
$$
\sum_{i = 1}^{3}\vert a_{i2}\vert=\vert2\vert+\vert - 3\vert+\vert - 1\vert = 6
$$
$$
\sum_{i = 1}^{3}\vert a_{i3}\vert=\vert - 5\vert+\vert2\vert+\vert4\vert = 11
$$
所以$\vert A\vert_1 = 11$。

对于矩阵
$$
B=\begin{pmatrix}7&2&1\0&3& - 1\-3&4& - 2\end{pmatrix}
$$
有：
$$
\sum_{i = 1}^{3}\vert b_{i1}\vert=\vert7\vert+\vert0\vert+\vert - 3\vert = 10
$$
$$
\sum_{i = 1}^{3}\vert b_{i2}\vert=\vert2\vert+\vert3\vert+\vert4\vert = 9
$$
$$
\sum_{i = 1}^{3}\vert b_{i3}\vert=\vert1\vert+\vert - 1\vert+\vert - 2\vert = 4
$$
所以$\vert B\vert_1 = 10$。