Miller-Rabin素数判定

用费马小定理进行素数判定

1、利用费马小定理

对于素数 p 和与其互质的 a，存在 $$a^{p-1}\equiv 1(modp)$$

那么，如果选取 a，小于 p，如果符合上述公式，这个 p 是不是素数？

这个不可以，比如341，这种数被称为费马伪素数。

2、随机选取

如果这个 a 是随机选取，并且选取几个去验证，是否可以？

也是不可以，比如 561，这种数被称为卡迈克尔数，在 $$[2,p-1]$$ 范围内都满足上述公式。

3、总结

存在m，a

m 是奇数

$$2<=a<=m-2$$

$$gcd(a,m)=1$$

$$a^{m-1}\equiv 1(modm)$$

那么 m 至少有 1/2 的概率是素数

二次探测定理

1、内容

存在 p，x

p 是素数

$$x^2\equiv 1(modp)$$

x < p

那么

x = 1

x = p - 1

2、证明

$$x^2\equiv 1(modp)$$

$$x^2-1\equiv 0(modp)$$

$$(x+1)(x-1)\equiv 0(modp)$$

即 $$p|(x-1)(x+1)$$

Miller-Rabin素数判定

时间复杂度

按照我后面给的代码，应该是$$O(k({log}^{2}n+logn))$$

k 为选取基数 x 的次数，log 是在底数为 2 的意义上。

在 $$2^{63}$$ 的数据范围，复杂度降到了 $${63}^2$$。

备注： $$2^{63}$$ 已经要开 unsigned long long 了。

思路

Fermat素数判定和二次探测定理的结合。

对于待检验数 p，随意选取基数 x：

x、p 符合费马小定理

对于 $$x^p$$ 的开方，只有两种结果：1 或 p - 1

对于奇素数，对 $$x^p$$ 不断开方，要么一直是 $$1(modp)$$，要么出现一个 p - 1 之后都是 1。

（本质而言，p - 1 在模 p 的情况下就是 -1，1 的开方即为 $$\pm 1$$）

代码

inline ll quick_multi(ull x, ull y, ull p)		// O(1)快速乘
{
    return (x * y - (ull)((lb) x / p * y) * p + p) % p;
}

ll quick_pow(ll x, ll y, ll p)			//O(logn)快速幂
{
    ll sum = 1;
    x%= p;
    while (y)
    {
        if (y & 1) sum = quick_multi(sum, x, p);
        x = quick_multi(x, x, p);
        y>>= 1;
    }
    return sum;
}

inline bool mr(ll x, ll p)  // mille rabin判质数
{              
    if (quick_pow(x, p - 1, p) != 1) return 0;  //费马小定理，快速幂
    ll y = p - 1, z;
    while (!(y & 1))    //二次探测
    {  
        y >>= 1;
        z = quick_pow(x, y, p);
        if (z != 1 && z != p - 1) return 0;
        if (z == p - 1) return 1;
    }
    return 1;
}

inline bool prime(ll x) 
{
    if (x < 2) return 0;  // mille rabin判质数
    if (x == 2 || x == 3 || x == 5 || x == 7 || x == 43) return 1;
    return mr(2, x) && mr(3, x) && mr(5, x) && mr(7, x) && mr(43, x);
}