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图论

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本文针对一组区间操作问题，探讨了不同规模数据下的解决方案。对于小规模数据，采用暴力方法；中等规模数据，利用关键位置理论减少计算复杂度；大规模数据，则通过图论模型和联通块概念高效求解。

Description

这里写图片描述

Input

第一行，一个整数 $\ T\$ 表示一共 $\ T\$ 组数据。
每组数据第一行，两个整数 $N，M$ ，分别表示密码串长度和区间个数。
接下来 $\ M\$ 行，第 $\ i\$ 行两个整数 $L_i,R_i$ 表示一个区间 $[L_i,R_i]$ 。

Output

每组数据一行，一个整数表示所有的可能，答案对 $(10^9+7)$ 取模

Sample Input

2
3 3
1 1
2 2
3 3
5 2
1 2
4 5

Sample Output

8
4

Data Constraint

对于 $30 \%$ 的数据， $N,M ≤ 10$
对于 $60 \%$ 的数据， $N ≤ 10000000 , M ≤ 20$
对于 $100 \%$ 的数据， $N ≤ 10000000 , M ≤ 100000 ,1 ≤ Li ≤ Ri ≤ N , T ≤ 10$

Hint

第一组数据：每个位置都可以单个修改，所以所有长度为 $\ 3\$ 的 $\ 01\$ 串都有可能，即 $2^3=8$ 种可能。
第二组数据的四种可能如下：
$1$ .不操作: $00000$
$2$ .选择区间 $[1,2]:11000$
$3$ .选择区间 $[4,5]:00011$
$4$ .先选择区间 $[1,2]再选择[4,5]:11011$

solution

对于 $30 \%$ 的数据：
我们枚举那操作哪些区间然后暴力翻转，最后用一个 $hash$ 判重
即可。
时间复杂度： $O(N*2M)$
对于 $60 \%$ 的数据：
一个显然的结论：每次操作完的数列最后一定是 $000...111...00$
$0...111...$ 这种形式的，即一段连续的 $0$ ，再一段连续的 $1$ ，再一段连
续的 $0...$ 以此类推。我们把每一个 $01$ 交界的位置成为关键位置，那
么最终的一个数列必然可以由它的关键位置表示，即关键位置集合一
样的数列是同一个数列。现在问题变为所有可能的关键位置集合的种
类数。
现在假设我们有 $5$ 个区间 $[3, 5), [2, 4), [2, 8), [4, 8), [2, 13)$
假设现在选择 $[2, 4), [4, 8), [3, 5)$ ，那么最终的序列是 $[0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, ...]$ ，关键位置集合为 ${2, 3, 5, 8}$ 。注意到一个结论，如
果我选择的区间端点出现了奇数次那么这个端点最终就是一个关键
位置，偶数次就不是。正确性比较显然，一个区间的端点第一次出现，
必然是关键位置，下一次出现会将其取反，使它变回非关键位置。
有了上述结论之后，问题就变得简单了，我们枚举操作那些区间
就可以统计答案了。
时间复杂度： $O(2M)$
对于 $100 \%$ 的数据：
有了上面的结论，我们可以更方便的处理问题。考虑转化成图论
模型来处理，对于一个区间 $[L,R)$ 我们连从 $L$ 到 $R$ 连一条无向边。现
在要对每条边赋值为 $0/1$ ，每个点的权值是所有与它相连的边权和，
要求最后有多少种不同的点权方案。这样做的好处是，我们可以独立
计算每一个联通块的方案，最后将它们乘起来就是答案。
至于计算联通块的内的方案数，这里又有一个比较容易想到的结
论：最终的方案数为 $2$
$n-1，n$ 是联通块的点数。证明如下：
假如现在我们已经有一个大小为 $n$ 的联通块了，现在连了 $(u,v)$ ，
将 $v$ 点从联通块外连到联通块上，那么 $(u,v)$ 这条边取 $0/1$ 都是一种
可能方案，我们的新联通块方案数就是老方案数 $*2$ ，所以是 $2^{n+1}$
再假如现在连了 $(u,v)$ ，而且 $u,v$ 属于同一联通块，那么不管这条
边取 $0$ 或取 $1$ ，我都可以通过翻转其他的边表示出新的方案，所以方
案数不变。
综上所述，大小为 $n$ 的联通块最终的方案数为 $2^{n-1}$ 。
设原图有 $m$ 个结点和 $k$ 个联通块，每个联通块大小为 $m_1,m_2, m_3...m_k$ 。那么最终答案为:
$2^{m1-1} * 2^{m2-1} * ... * 2^{mk-1} = 2^{m-k}$
时间复杂度： $O(M)$

code

const   maxn=10000005;
        mo=1000000007;
var     x,y,tt,ans,tot,t,fax,fay,i,m,n:longint;
        vis:array[0..maxn] of boolean;
        yy,next,dt:array[0..200005] of longint;
                g:array[0..maxn] of longint;
procedure make(x,y:longint);
begin
    inc(tot);
    yy[tot]:=y;
    next[tot]:=g[x];
    g[x]:=tot;
end;
procedure dfs(x:longint);
var     y,i:longint;
begin
    vis[x]:=true;
    i:=g[x];
    inc(ans);
    while i<>0 do begin
        y:=yy[i];
        if not vis[y] then dfs(y);
        i:=next[i];
    end;
end;
function ni(x:longint):int64;
var     ans,y:int64;
begin
    y:=2;
    ans:=1;
    while x<>0 do begin
        if x mod 2=1 then ans:=ans*y mod  mo;
        y:=y*y mod mo;
        x:=x div 2;
    end;
    exit(ans);
end;
begin
    readln(t);
    for t:=1 to t do begin
        readln(n,m);ans:=0;
        fillchar(next,sizeof(next),0);
        fillchar(g,sizeof(g),0);tot:=0;
        fillchar(yy,sizeof(yy),0);
        fillchar(vis,sizeof(vis),false);
        tt:=0;
        for i:=1 to m do begin
            readln(x,y);
                        x:=x-1;
            inc(tt);dt[tt]:=x;
            inc(tt);dt[tt]:=y;
            make(x,y);
            make(y,x);
        end;
        for i:=1 to tt do begin
            if not vis[dt[i]] then begin
                                dfs(dt[i]);
                                dec(ans);
                        end;
                end;
                writeln(ni(ans));
    end;
end.