数论总结笔记

1、最大公约数性质

gcd(a,b)表示求a,b两个数的最大公约数。

（1）gcd(a,b) = gcd(±a,±b)。

（2）gcd(a,b) = gcd(a+kb,b)，k为任何整数。

（3）gcd(a,b) = gcd(a mod b , b)。

（4）如果a是非零整数，那么gcd(a,0) = |a|。gcd(0,0)不存在。

根据性质（4）我们可以得到一种求最大公约数的方法，叫辗转相除法，也有称之为欧几里得算法。算法过程如下：

/*
* 辗转相除求最大公约数
* 输入：两个数a和b，两个数不能同时为0 
* 输出：a,b的最大公约数 
**/ 
int gcd(int a,int b)
{
	int temp;
	if(a==0)
	{
		return b;
	}
	while(b!=0)
	{
		temp = b;
		b = a % b;
		a = temp;
	}
} 

2、最小公倍数性质

lcm(a,b)表示求a,b两个数的最小公倍数。同样也有lcm(a,b) = lcm(|a| , |b|)。有以下计算公式：

3、习题

1、输入一个整数n，求n!中末尾0的个数。例如，输入3输出0,；输入100输出24；输入1024输出253。

求末尾有几个0，就是求n!中含有几个因子10。因子10又可分为因子5和因子2。因为明显可以看出因子2多于因子5，所以只要知道n!中有几个因子5，就求得答案。

例如对于输入100，1~100中共有 100/5 = 20个数可以被5整除，至少存在20个因子5。其中100、75、50、25可以被5整除两次，换句话说，就是1~100中有100/(5*5) = 4 个数存在有两个因子5，所以至少有 20 + 4 = 24个因子5。但是1~100中有100/(5*5*5) = 0个数存在有三个因子5，也就说一共有24个因子5，100!中末尾0的个数为24。

 

/*
*输入一个整数n 
*输出n!中末尾0的个数 
**/
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
	int n,i,nn,count=0;
	cin >> n;
	i = 5;
	while(i<=n)
	{
		nn = n;
		nn = nn/i;
		count += nn;
		i = i*5;
	}
	cout << count;
	return 0;
}

未完待续。。。。。。