初探AC自动机

本文为帮助初学者快速了解什么是AC自动机。

简介

要学习AC自动机，了解KMP算法是它的前提。KMP算法是单模式串的匹配，常见的KMP算法解决的问题类似为：在字符串ABCABCABD中查找模式串ABCABD，它可以优化查找的时间复杂度到O(n)。而AC自动机比KMP厉害点，处理的是多模式串的匹配，也就是可以在一个字符串中同时查找多个模式串。与KMP算法的思想核心一致，AC自动机处理问题的策略也是在匹配失败后，调转到一个合适的位置继续实现匹配。在KMP中，我们使用next[i]数组来实现在模式串任意位置匹配失败时，调转到下一个位置继续匹配，而不会重复某些不必要的匹配过程。在AC自动机中，我们用fail指针来实现同样的功能，当匹配失败时，沿着fail指针调转到另一个状态继续匹配而不会有冗余的过程。

具体来看看AC自动机长什么样的。AC自动机由字典树(Trie)和fail指针构成。比如说我们有题目：在字符串amorebmonebugly中，统计more、on、ugly、bug这四个单词各出现了多少次。

构造字典树Trim

首先，我们把四个模式串构造成一棵字典树（Trim），我们需要设立一个空的root节点，从这点出发开始构造。构造成下图：

树中每一个节点都表示一个状态，从root节点出发，读入字符串，每读入一个字符，且能够与当前节点的某个孩子匹配，就向下走一步到匹配的孩子节点处。当走到图中蓝色标记的状态时，就完成识别一次字符串的匹配过程。

上述过程很简单，沿着Trim往下走就是了，问题在于，如果读入一个字符，没有一个孩子匹配，不能继续往下走时应该怎么办？这时就要用到构造AC自动机的第二个要素，构造fail指针。

构造fail指针

fail指针实现的是，当读入一个字符，匹配失败时，应该跳转到哪一个状态下继续匹配。先来感性的体会一下fail指针的作用：

比如我们读入了‘m'、'o'两个字符，这时在Trim上走的路径是root->m->o，待读入'n'字符，但是’o‘的下一个状态是'r'，匹配失败，但是已经读入的字符'o'和root->o这条路径匹配，所以应该跳转到root->o，从'o'继续向下匹配，发现读入'n'后匹配成功。

这就是fail指针的功能。接下来我们来解决如何构造fail指针。

1. root节点的fail指向自己，root节点下一层的fail指针都指向root节点。
2. 从第二层开始，每个节点X沿着父节点的fail指针到达一个节点Y，如果节点Y的孩子中同样也有节点X，那么节点X的fail指针指向节点Y下的节点X。
3. 如果不存在同样的节点X，则继续沿着当前沿着找到的节点Y的fail指针向上找，做同样的判断。如果到root点时任未找到，则节点X的fail指针指向root节点。

整个构造过程可以用广度搜索从上到下、从左到右的实现。构造好的fail指针后的图像如下想所示，红色线条表示各节点fail指针的指向。

根据AC自动机的转态转移，对于文中所提问题，有下面程序转态转移流程。上一行是字符串的输入,下一行是在AC自动机中状态的转移情况。其中绿色表示识别到一个字符，红色表示匹配失败，沿fail指针转移到某个状态。