38、张量场正则化技术解析

张量场正则化技术解析

1. 张量场正则化概述

在处理张量场数据时，正则化是一项关键技术，它有助于减少噪声、保留数据的结构信息。本文将介绍两种张量场正则化方法，分别是基于结构度量的方法和基于归一化卷积与马尔可夫随机场的方法，这些方法在扩散张量磁共振成像（DT - MRI）等领域有重要应用。

2. 结构度量用于张量场正则化

2.1 滤波效果展示

通过对合成的二维向量场和二阶张量场添加高斯白噪声（均值为 0，标准差为 0.2），然后进行正则化处理。可以看到，正则化后的向量和张量更加对齐，同时保留了边缘信息。

类型	原始数据	正则化后数据
二维向量场	合成随机噪声二维向量场	正则化向量场
二维二阶张量场	以椭圆表示的合成随机噪声二维二阶张量场	正则化张量场

2.2 应用

• 结构加权插值
  • 原理 ：与标量情况类似，插值张量数据需要估计未采样点的张量，以获得上采样的张量场。未知张量 $\hat{D}$ 在采样点 $x$ 处可以估计为邻域 $N(x)$ 内采样张量数据的线性组合：
    $\hat{D}(x) = \frac{\sum_{i\in N(x)} \omega_i D(x_i)}{\sum_{i\in N(x)} \omega_i}$，其中 $\omega_i$ 表示每个样本在 $x_i$ 处的权重。
  • 权重计算 ：为了保留边缘，需要考虑局部结构，权重 $\omega_i$ 计算如下：$\omega_i = \frac{1}{(x - x_i)^t \hat{T} (x - x_i)}$，其中 $\hat{T}$ 是张量场的局部结构张量。
  • 操作步骤 ：
    1. 在二维中基于 4 个最近样本，三维中基于 8 个最近样本进行插值，可扩展到更大邻域。
    2. 对于规则离散数组，插值点位于像素/体素中心、边缘/侧面。
    3. 分阶段进行插值，依次处理中心、边缘或侧面。
  • 效果对比 ：通过简单的合成示例对比线性插值和各向异性插值，发现使用结构张量作为局部度量的方法能更好地保留边缘，减少边缘模糊。

graph LR
    A[输入张量数据] --> B[确定插值点]
    B --> C[选择邻域样本]
    C --> D[计算局部结构张量]
    D --> E[计算权重]
    E --> F[线性组合计算插值张量]
    F --> G[输出插值后的张量场]

• 结构加权配准
  • 原理 ：图像配准是找到关联两个不同图像（源图像和目标图像）的坐标变换。通过将从结构张量获得的局部结构标量度量（确定性）作为加权函数纳入最小二乘法中，结合归一化卷积进行处理。
  • 确定性计算 ：$structure (x) = \frac{det \hat{T}(x)}{trace \hat{T}(x)}$
  • 操作步骤 ：
    1. 通过模板匹配获得场（信号）。
    2. 计算局部结构的确定性。
    3. 将场投影到非正交基描述的向量空间，通过适当的度量张量将协变分量转换为逆变分量。
    4. 对基元素施加适用性函数，保证适当的定位并避免高频伪影。
  • 多分辨率处理 ：采用金字塔结构，在最高层通过模板匹配估计变形场并正则化，然后在后续层对源数据集进行变形和配准。

graph LR
    A[源图像和目标图像] --> B[最高层：模板匹配估计变形场]
    B --> C[最高层：正则化变形场]
    C --> D[下一层：空间上采样和插值变形场]
    D --> E[下一层：变形源数据集]
    E --> F[下一层：目标和变形源数据集配准]
    F --> G[重复至所有层]

3. 基于归一化卷积和马尔可夫随机场的张量场正则化

3.1 背景

DT - MRI 能测量生物组织中水分子的扩散，但图像会受到噪声干扰。通过对张量场施加平滑或正则化约束可以减少噪声。这里介绍两种正则化方法，一种是确定性的基于归一化卷积的方法，另一种是随机的基于贝叶斯框架下的多元高斯信号模型的马尔可夫随机场方法。

3.2 归一化卷积

• 原理 ：归一化卷积（NC）是一种过滤缺失和不确定数据的通用方法，可视为局部求解加权最小二乘法（WLS）问题。通过最小化 $||W(B\theta - f)||$ 得到 WLS 解：$f_0f = B\theta = B(B^ W^T WB)^{-1}B^ W^T Wf$。
• 权重拆分 ：权重 $W$ 拆分为两部分，一部分是适用性函数 $a$，用于处理基函数的空间定位；另一部分是信号确定性函数 $c$，描述信号样本的可信度。
• 确定性度量
  • 信号确定性函数 ：$c = c_v c_s$，其中 $c_v$ 是体素确定性，$c_s$ 是相似性确定性。
  • 相似性确定性 ：$c_s = c_m c_a$，其中 $c_m$ 是幅度相似性度量，$c_m = \exp\left(- \left(\frac{||T_0|| - ||T||}{\sigma}\right)^2\right)$；$c_a$ 是角度相似性度量，$c_a = \langle\hat{T}_0, \hat{T}\rangle^{\alpha} = tr(\hat{T}_0^T \hat{T})^{\alpha}$，其中 $\hat{T} = \frac{T}{||T||}$。
• 适用性函数 ：$a = \begin{cases} r^{-\alpha} \cos^{\beta} \left(\frac{\pi r}{2r_{max}}\right) & r < r_{max} \ 0 & otherwise \end{cases}$，其中 $r$ 表示到邻域中心的距离，$\alpha$、$\beta$ 和 $r_{max}$ 是正常数。
• 简单局部邻域模型 ：当使用单个常数基函数时，归一化卷积简化为卷积比：$T_0(m, n, p) = \frac{\sum_{i,j,k} a(m + i, j + n, k + p) c_v(i, j, k) T(i, j, k)}{\sum_{i,j,k} a(m + i, j + n, k + p) c_v(i, j, k)}$

3.3 正则化效果

• 标量场正则化 ：通过对含噪阶梯函数进行滤波，展示了体素和幅度确定性函数的效果。使用标准 NC 会导致相邻区域特征混合，而引入幅度确定性度量 $c_m$ 可以有效控制边界模糊，$\sigma$ 值越小，区域间平均越少。
• 张量场正则化 ：对合成的二维张量场和 DT - MRI 数据生成的张量场进行滤波，角度度量 $c_a$ 对于减少不同方向区域的信息混合很重要，不同的 $\alpha$ 值会影响混合程度。

张量场正则化技术解析

4. 马尔可夫随机场在张量场正则化中的应用

4.1 原理概述

在贝叶斯框架下，基于多元高斯信号模型的马尔可夫随机场方法用于张量场正则化。该方法通过 3D 邻域系统对局部张量之间的空间相互作用进行建模，从而实现对张量场的正则化处理。

4.2 对比确定性方法

与确定性的归一化卷积方法不同，马尔可夫随机场方法是随机的。归一化卷积方法通过构建信号确定性函数和适用性函数来处理数据，而马尔可夫随机场方法则侧重于对张量场的空间结构进行概率建模。

方法类型	特点	处理方式
归一化卷积	确定性	局部求解加权最小二乘法，拆分权重为适用性和确定性函数
马尔可夫随机场	随机性	基于贝叶斯框架，用 3D 邻域系统建模空间相互作用

4.3 实验效果

在合成数据和真实的 DT - MRI 数据上进行实验，马尔可夫随机场方法能够有效地减少噪声，同时保留张量场的结构信息。它可以更好地处理数据中的不确定性和复杂的空间关系，相比于归一化卷积方法，在某些情况下能够获得更平滑和准确的正则化结果。

graph LR
    A[输入张量场数据] --> B[构建 3D 邻域系统]
    B --> C[基于多元高斯信号模型建模]
    C --> D[贝叶斯推理]
    D --> E[输出正则化后的张量场]

5. 总结与展望

5.1 方法总结

• 基于结构度量的张量场正则化方法，通过结构加权插值和配准，有效地保留了边缘信息，在处理图像的插值和配准问题上表现出色。
• 基于归一化卷积和马尔可夫随机场的张量场正则化方法，分别从确定性和随机性的角度出发，对张量场进行正则化处理，能够减少噪声，提高数据的质量。

方法	优点	应用场景
结构度量正则化	保留边缘信息	图像插值、配准
归一化卷积正则化	减少噪声，控制边界模糊	过滤缺失和不确定数据
马尔可夫随机场正则化	处理复杂空间关系，减少不确定性	处理含噪的 DT - MRI 数据

5.2 未来展望

随着医学成像技术的不断发展，对张量场正则化的需求也越来越高。未来的研究可以进一步探索这些方法的结合，以获得更好的正则化效果。例如，可以将结构度量与马尔可夫随机场方法相结合，充分利用两者的优势，提高对复杂结构的处理能力。同时，还可以研究如何将这些方法应用于更多的领域，如计算机视觉、机器人等。

graph LR
    A[现有方法结合] --> B[提高正则化效果]
    B --> C[应用于更多领域]
    C --> D[推动相关技术发展]

综上所述，张量场正则化是一个具有重要研究价值和应用前景的领域，通过不断地探索和创新，有望为医学成像和其他相关领域带来更多的突破。